动量守恒定律在碰撞问题中的应用

天津 徐海霞

一、碰撞类型

1.解读碰撞

两个物体在极短时间内发生相互作用，且作用力较大，这种情况称为碰撞。

由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，所以可以认为系统的动量守恒。按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上分为正碰和斜碰，中学物理只研究正碰的情况。碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。弹性碰撞是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储存，物体系统碰撞前后的总动能相等。完全非弹性碰撞指两物体碰后粘合在一起，发生的形变不恢复，以同一速度运动，机械能损失最大。非弹性碰撞是碰后两物体能分开，动量守恒，但动能有损失，损失的动能转化为热量，动能损失介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间。

2.三种碰撞类型的分析

如图1所示，光滑的水平面上，有两个质量分别为m1和m2小球A、B，A球以v1的速度与静止的B球发生正碰。

图1

(1)弹性碰撞：碰后分开，动量及动能守恒，有：

(2)完全非弹性碰撞：碰后粘在一起，动量守恒，动能损失最大，损失的动能转化为内能，有：

m1v1=(m1+m2)v

(3)非弹性碰撞：碰后分开，动量守恒，动能有损失，损失的动能转化为热量。动能损失介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间，有

下面再通过带弹簧的两个相互作用的物体为例，看看三种碰撞形式。

图2

在整个过程中，可以认为系统不受外力，故系统动量一定是守恒的。由于在整个过程中不好断定弹簧弹性的变化，机械能是否守恒要具体问题具体分析了。

(3)若弹簧不是完全弹性的。在状态a至状态b过程中，系统动能在减少，一部分动能转化为弹簧弹性势能，一部分动能转化为系统内能，状态b系统动能达到最小，弹簧弹性势能仍能达到最大，但数值上比(1)中弹簧弹性势能要小；从状态b至状态c过程中弹簧弹性势能减少，一部分转化为系统动能，一部分转化为系统内能。这种碰撞就是非弹性碰撞。在这一过程中，系统不受外力，故动量守恒，但全过程中系统一部分动能转化为系统内能，故系统动能有损失而不守恒，则机械能不守恒。

综上所述，解决碰撞问题就要把握好系统动量守恒、能量不增加这一原则。

二、例谈碰撞中的动量守恒定律的应用

1.完全弹性碰撞

【例1】质量为m1=1 kg的滑块以6 m/s的速度沿光滑水平面向质量为m2=2 kg的静止滑块运动，并发生正碰。碰后两滑块的速度可能分别是

( )

A．-3m/s，4.5m/s B．-1m/s，3.5m/s

C．3m/s，1.5m/s D．2m/s，3m/s

【解析】解法1：先判断是否符合系统动量守恒，可排除D选项；再判断动能是否增加，可排除A选项；还要判断顺序是否合理，可排除C选项；只有B选项是可能的。

【答案】B

【点评】此类碰撞问题要考虑三个因素：

(1)碰撞中系统动量守恒；

(2)碰撞过程中系统动能不增加；

(3)碰前、碰后两个物体的位置关系(不穿越)和速度大小应保证其顺序合理。

2.完全非弹性碰撞

【例2】设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

【解析】子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：mv0=(M+m)v

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如图3所示，显然有s1-s2=d，则

图3

①②联立解得：

【点评】完全非弹性碰撞要抓住系统动量守恒、但系统机械能损失最多这一特点列式求解。

3.与图象结合的碰撞问题

【例3】质量分别为m1、m2的小球在一直线上做弹性碰撞，它们在碰撞前后的位移—时间图象如图4所示，若m1=1 kg,则m2的质量等于多少?

图4

【答案】3 kg

【点评】本题是一道有关图象应用的题型，关键是理解每段图线所对应的量，求出各物体碰撞前后的速度。注意不要把运动图象的形状同运动轨迹混为一谈。

4.带弹簧的碰撞问题

【例4】如图5所示，质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x0。一个物块从钢板的正上方相距3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物块的质量也为m时，它们恰能回到O点；若物块的质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时还具有向上的速度。求物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离。

图5

【解析】由动能定理有，物块与钢板碰撞速度为：

设v1为物块与钢板一起向下的速度，由动量守恒有：mv0=2mv1

设刚碰完时弹簧的势能为Ep，则回到O点时，势能为0，由机械能守恒有：

设v2是质量为2m的物块与钢板碰后的速度，由动量守恒有：2mv0=3mv2

在上述两种情况下，弹簧初始压缩量都是x0，故

【点评】(1)物块与钢板碰撞的瞬间外力之和并不为零，但这一过程时间极短，内力远大于外力，故可近似看成动量守恒。

(2)两次下压至回到O点的过程中，速度、路程并不相同，但弹性势能的改变(弹力做的功)相同。

(3)在本题中，物块与钢板下压至回到O点的过程也可以运用动能定理列方程。

5.需讨论解的碰撞问题

【例5】如图6所示，质量为M的物体P静止在光滑的水平桌面上，另一质量为m(m

( )

图6

A．Q物体一定被弹回，因为m

B．Q物体可能继续向前

C．Q物体的速度不可能为零

D．若相碰后两物体分离，则过一段时间可能再碰

【解析】如果是弹性碰撞，因m

【答案】B

【点评】弹性碰撞和完全非弹性碰撞是碰撞问题的两种极限情况，前者在碰撞结束后物体能完全恢复形变，后者在碰撞结束后完全不能恢复形变，其余的碰撞统称非弹性碰撞，其结果应该是介于两种极限情况之间。对心正碰既不是指弹性碰撞，也不是指完全非弹性碰撞，它是指一维碰撞，即碰撞前后物体在同一直线上运动，显然它既可能是特殊的弹性碰撞或完全非弹性碰撞，也可能是一般的非弹性碰撞。

图7

【解析】设第一个小球与第二个小球发生弹性碰撞后两小球的速度分别为v1和v2，根据动量和能量守恒有：

依次类推，可得第(n+1)个小球被碰后的速度为：

设第(n+1)个小球被碰后对地面的压力为零或脱离地面，则：

联立以上两式代入数值可得n≥2，所以第3个小球被碰后首先离开地面。

【答案】第3个

【点评】解答对于多个物体、多次碰撞且动量守恒的物理过程时，总结出通项公式或递推式是关键。

6.碰撞与能量的综合题

图8

【解析】子弹穿过A时，子弹与A动量守恒，由动量守恒定律得

mv0=mAvA+mv1①

vA=10 m/s ②

子弹穿过B时，子弹与B构成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：

mv1=mBvB+mv2③

解得：v2=100 m/s

由③④解得：vB=2.5 m/s ⑤

子弹穿过B以后，弹簧被压缩，A、B和弹簧所组成的系统动量守恒。

由动量守恒定律得：

mAvA+mBvB=(mA+mB)v共⑥

由功能关系得：

由②⑤⑥⑦解得Ep=22.5 J。