刍议共点力平衡条件的应用问题

河北 陈宝友(特级教师)

共点力平衡条件的应用是物理学的一个重要内容，解决平衡问题的研究方法和解题策略几乎贯穿整个高中阶段，因此对此类问题必须有足够的认识。物体平衡遵循的物理规律是共点力作用下物体的平衡条件，即F合=0，利用该规律分析平衡问题时，首先应明确物体所受的力在何处“共点”，即明确研究对象，在分析出各个力的大小和方向后，还要正确选定研究方法，建立各力之间的联系，进而借助平衡条件和数学方法确定结果。

处理共点力作用下物体的平衡问题主要有如下方法，我们分别进行讨论。

一、正交分解法

这是处理共点力作用下物体平衡问题最基本的方法，这种方法是利用物体所受合外力为零这一条件来求解问题。应用正交法解物体平衡问题的基本步骤：

1.选取研究对象；

2.画出研究对象的受力示意图；

3.选择适当坐标系，这里需要注意，互相垂直的两个方向即坐标系方向的选择原则是使坐标轴尽可能和更多力的方向重合，以免去过多分解力的麻烦，并确定需要分解的力与轴的夹角，并将这些力正交分解在轴上；

4.根据共点力平衡条件∑Fx=0、∑Fy=0列出平衡方程组；

5.解方程，代入数据，求出结果。

【例1】(2016·天津卷)如图1所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是

( )

图1

A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变

B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大

C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小

D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移

图2

由以上各式可知，当l、d不变时，θ不变，故换挂质量更大的衣服时，悬挂点不变，选项D错误；若衣服质量不变，改变b的位置或绳两端的高度差，绳子拉力不变，选项A正确，C错误；当N杆向右移一些时，d变大，则T变大，选项B正确。

【答案】AB

二、利用力的合成与分解

应用力的分解法对力进行分解时不是随意的，一定要根据力的实际作用效果确定力的分解方向。合成法或分解法实际上都是平行四边形定则的应用，采用这两种方法的实质是等效替代，即通过两个力的等效合成或某个力的两个等效分力建立已知力与被求力之间的联系，为利用平衡条件解问题做好铺垫。

【例2】(2016·全国卷Ⅰ)如图3，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则

( )

图3

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

【解析】由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT=mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变，由滑轮性质可知，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图4所示，由平衡条件得FTcosβ+Ff=Fcosα，Fsinα+FN+FTsinβ=mbg，其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。

【答案】BD

图4

三、相似三角形法

相似三角形法是解决平衡问题时常用到的一种方法。物理上的矢量可用有向线段表示，矢量的合成与分解又遵守平行四边形法则或三角形法则，这样就构成了一个矢量三角形(平行四边形可分为两个三角形)，如果能找到一个由已知量构成的三角形与之相似，那么“相似三角形的对应线段分别成比例”，这一知识就可用于处理物理问题。

解决这种类型的问题的对策：首先利用合成法或分解法作出三力之间的平行四边形关系和三角形关系，再根据力的三角形寻找与之相似的结构三角形，利用三角形的相似比求解。解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

( )

【答案】B

图5

四、隔离法和整体法

整体法是将两个或者两个以上的物体作为一个整体进行分析的方法，而隔离法是将某个物体单独隔离出来进行分析的方法。若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单；而对于大多数静力学问题，单纯采用某一种方法并不一定能解决，如求系统内物体间的相互作用力时，整体法便不能解决，故此时需要使用隔离法，所以通常往往是整体法和隔离法两者交替使用。

【例4】如图6所示，质量为M的四分之一圆柱体放在粗糙水平地面上，质量为m的正方体放在圆柱体和光滑墙壁之间，且不计圆柱体与正方体之间的摩擦，正方体与圆柱体的接触点的切线与右侧墙壁成θ角，圆柱体处于静止状态，则

( )

图6

A．地面对圆柱体的支持力为Mg

B．地面对圆柱体的摩擦力为mgtanθ

【答案】C

五、三角函数法

三角函数在物理问题中的运用十分广泛，物体受同一平面内三个互不平行的力的作用下平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形，利用三角形法具有直观、简便的特点。但必须注意三角函数法仅仅适用于三力平衡且出现直角三角形的情况。

【例5】如图7所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是

( )

图7

【答案】A

图8

六、正弦定理和余弦定理

物体在三个互成角度的共点力作用下处于平衡，则这三个力组成一个闭合三角形，因而正弦定理在解决三力平衡问题中有广泛应用，它可使解题过程大大简化。

【例6】如图9所示，长为l的轻绳一端固定在倾角为θ的光滑斜面上，另一端系着半径为r，质量为m的均匀球，求：绳子对球的拉力和斜面对球的支持力的大小各为多大？

图9

【解析】由于斜面光滑，球不受摩擦力作用，而重力mg和斜面支持力N均过球心，所以，绳子的拉力T也必将过球心。如图10所示，以N、T为邻边作平行四边形，求得合力为F，F与G等大、反向、共线。在△FTO中，由正弦定理，有

取球为研究对象，其受力情况如图10所示，以平行于和垂直于斜面的方向为x和y轴方向建立坐标系，于是有

图10

Tcosα-mgsinθ=0 ，Tsinα+mgcosθ-N=0

七、图解法

所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上直接就可以看出结果，进而得到问题的结论。力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法，这种方法的优点是形象直观。

【例7】如图11所示，小球用细绳系住，细绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及细绳对小球的拉力FT的变化情况是

( )

图11

【解析】本题利用图解法比较容易求解：由于用水平力F缓慢推动斜面体，故小球处于动态平衡状态。小球受到大小方向均不变的重力、方向不变的斜面支持力、方向大小均变化的细绳的拉力，如图12甲所示，三个力构成封闭的三角形，画出小球受力示意图如图12乙所示；当细绳与斜面平行时，细绳拉力FT2与支持力方向垂直，细绳拉力最小，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，细绳拉力为FT4，所以FT先减小后增大，而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大，选项D正确。

【答案】D

图12

【结束语】解决平衡问题的基础是对物体进行受力分析,分析研究对象的受力情况要注意：①采用隔离法分析其他物体对研究对象的作用力，不能随意增加力，也不能遗漏力，常用的办法是首先确定重力，其次找接触面，由于一个接触面通常对应一对弹力和摩擦力，因此找到接触面后，判定这两个力是否存在；最后再加上其他作用力，如拉力、推力等；②准确画出受力示意图。