“单位1”与“分数单位”学习中的错题研究与分析

何玉婷

摘 要：数学要走向生活，新一轮数学课程改革的一个重要特征正是强调与现实生活的联系。就初等数学而言，我们很容易看到数学的抽象特征，例如分数。此类抽象的数学内容正是学生费解难懂的地方。而怎样处理分数这类抽象的问题，让数学由抽象转为直观，便于学生理解掌握，提高学习的正确率正是我们要研究的问题。

关键词：单位1；分数单位；错题

分数的学习并不难，难在于分子、分母、单位基数等的变化和应用。这个阶段是学生对数学计算和数量表达的一个新的认知阶段。在起初的学习中对概念的混淆，以及后续应用中基准单位的不统一，都会对学生的应用造成极大的困扰。那么本文主要针对易错点进行分析，研究学生在学习的过程中容易犯错的点以及原因，并寻找出有效的引导教学方式。

一、找不到“单位1”

学生刚刚学习“单位1”时，能够很快地理解“单位1”表示数1，或者几个数，或者一个整体。让学生动手将一个数或者一个整体平均分成几份，或者给一个直观图让学生涂色表示几分之几，往往不会出现问题。但是变成纯文字的题目学生就不知道B就是“单位1”。在所调查的《补充习题》第四单元中，共11道这样的题型。平均每题有8.5%的学生找“单位1”找错，最高有18.3%的错误率。

例1：找出下列各题的“单位1”。

婴儿每天的睡眠时间占全天的 ，这类找“单位1”的题型其实比较简单，只要学生理清，A占B的几分之几，“占”字后B就是“单位1”，我们可以记忆口诀，A占B的 。

包扎一盒礼品，用了一根彩带的 ，像这种格式，用了B的几分之几，“是”“消耗”“用了”等等词就相当于“占”，这是一种语法知识不必细讲，但可以举例让学生发现规律。

五年级学生中，女生占 ，题目不是A占B的几分之几这样的格式，而是A占几分之几。这时可以提问A占谁的几分之几？提醒学生将格式补充完整。这类题型在新课之后就有，可以让学生自己先练，再讲解。

例2：求一个数是另一个数的几分之几。

鸡有29只，鸭有17只，鹅有42只。鸡的只数是鸭的（ ），鹅的只数是鸡的（ ）。

这类数形结合，求一个数是另一个数的几分之几的题错误率很高，因为学生习惯了分数的分母比分子大，反过来当求一个大的数是一个小的数的几分之几时，学生往往会怀疑自己的判断，完全把分子分母的关系弄反。在所调查的习题中，这类题型共有9题，平均每题有1.3%人判断错误，错误率最高的达到6.5%。

我们依然要帮助学生找准这类题中的“单位1”，A是B的几分之几，把B看作“单位1”，口诀就是A是B的 。

例3：在数轴上填分数。

在数轴上填分数似乎是小学生的一项弱项，若是在数轴上填写分母相同的分数似乎没有难度，若是分母不同，且有真分数、假分数的情况下，就极其容易产生错误。一方面需要填的空多了给学生一种复杂的感觉，一方面学生对“单位1”的固执理解，使得他们面对数轴上的2、3、4之类的数字产生困惑，“单位1”没有单位，数轴上的数字也没有单位，该把哪一段平均分？假分数往哪儿填？在所调查的题目中，数轴的题型共有6题，平均每题的错误人数为10.8%，其中错误率最高的为真、假分数，小数混合填写的题型，有36.6%的学生做错。

在数轴上如何找准“单位1”？首先在教学真分数、假分数这一课时，教师应该明确讲清楚，数轴就是把数字从小到大排列在一条线上，没有具体情境的时候，数字1就是“单位1”，我们所学习的所有真分数都是比1小的数，在数轴上应该排列在0～1之间。比1大的都是假分数，有的假分数还会比2大、比3大、比100大……这时候我们就要把假分数改写成带分数或整数，甚至小数。先确定它在哪两个相邻的数之间，再把这相邻的两个数之间的那段平均分成分母是几就是几份的分数。

数轴的题型要求学生的基本功扎实，还要求学生细心、耐心地去读题写题。这是比较有挑战性的题型。我们应该在此之前先给学生练习一些小数和分数互化、假分数化带分数、化小数的练习，再给学生填写数轴。

二、对分数单位理解错误

分数单位就是几分之一，分母越大，这个分数就越小，分数单位几分之一也就越小。考查分数单位的题型有多种，容易产生错误的包括如下几种：当分母发生变化时，有些学生会认为这个分数单位没有变化，也有学生认为分母变大，分数单位是变大的。前者是错把分数的分子当作分数单位，后者是对分数大小的比较方法没有掌握。

例1：将一堆物品平均分成几份，每份是多少，每份占几分之几。

学生做题时这类答案有很多，但在学生还没有学习分数的基本性质时，我们要求学生根据分数的意义来填空，将A平均分成B份，分数单位是 ，每份是总数的 ，因为此类题目数据一旦增多，学生就会容易弄混数量关系，用这种方法简单不易出錯。这里又用到了小口诀，需要学生记忆。在所调查的习题中，这类题型共11题，平均每题有11.4%的学生发生错误，错误率最高的有46.2%。

一个分数的分数单位和分子的大小是无关的，分母越大，分数单位就是分母分之一，也就越小。做判断题时，先写出一个分数 ，它的分数单位是 ，再进行判断。B的值越大，平均分的份数越多，每份就越少，分数单位 就越小。在三年级的时候学生就有学习关于分数单位大小的比较方法。“把同一个东西平均分，分的份数越多，每份就越小”，我们应该要求学生会背诵这样的口诀，熟记之后运用就会更简单。

例2：“单位1”有具体数值时，找出其分数单位。

把3米长的钢管平均截成4段，每段占全长的（ ），每段的长是（ ）米。

如果“单位1”是一个有具体数值的量，那么学生对分数单位的理解就会出现困难，最常见的错误是忽略了分数表示的是两个数量之间的关系，是没有单位的。这里学生受到了单位的影响，产生混乱，把“每段占全长的几分之几”误解为“每段长多少”。这样的错误例子很多。在所调查的116题中，这类题型共有6题，平均每题有14.9%人判断错误，错误率最高的达到23.7%。

我们平时应该锻炼学生说题意的能力，求“每段占全长的几分之几”，仍然是求分数单位，平均成几份，分数单位就是几分之一，每份是总数的几分之一。

5筒羽毛球，每筒12只，平均分成6份，每个年级分得多少只，多少筒？这题数据较多，不单求分数单位，还要求数量，而且数量的单位还不同。这就属于比较复杂的求分数单位的题型。这对前面学习分数单位的掌握程度要求很高。

把两根1米长的彩带平均分成5份，每份有2个 米，是 米。这种题型比较少，学生无论看图还是看文字都容易出错，容易理解成把2米平均分成10份。这题直接让学生求每份多长，学生这个时候理解困难，思想混乱就会出错。这仍然是求分数单位的问题，要先找“单位1”，平均分成几份，分母就是几，分数单位就是几分之一。

三、教学实践措施

1.总结发现

学生学习分数时最容易出错的就是解决一个数是另一个数的几分之几的实际问题。原因就是对分数意义概念的不清晰，包括找“单位1”和分数单位。

解决这类问题，需要把概念教学联系直观，在教学过程中及时反馈、学生质疑和小组纠错。教学以来发现，书上有的概念性的知识往往学生不记得，更不用说一些规律性知识。以往我认为学习数学完全是靠理解力，无需记忆。现在发现这是一个非常错误的观点。不管学习什么，都需要大脑去记忆，才更方便今后运用。学生的学习是懵懂的，必须要教师给出明确的要求，学生才知道要会运用什么、掌握什么、理解什么、了解什么，才知道自己要怎么做。当然我们也要给学生时间，不要总是指望学生能自觉做什么事，小学生不像成人一样能合理规划好各段时间的使用，何况某些成年人也不能做到。作为教师要充分利用早读、课前2分钟的准备时间、课上40分钟、中自习等时间，督促学生完成各类学习任务。

这类概念和运算结合的教学内容是比较困难的。相信攻克这个难关，对学生学习会有极大助益。

2.易错题正确思路

通过上文能够发现，关于分数单位的易错点其实就是对单位的不理解。上文主要阐述了关于易错点的成因和误区，那么正确的易错题解题思路是必须的。为了能够从易错题中总结学习经验，教师在例题讲解时应该由浅入深，逐步增强学生的理解能力和应用能力。

简单例题1：

五年级一班总共有20个同学，其中女生有8个，请问男同学有多少，占班级总数的多少？

解题思路：

教师在引导学生的时候，首先是理解题干中的具体要求，求解的是男同学数量以及占比。那么首先就应该解决男同学数量问题，这个简单，不多做介绍。重点是占比问题。首先教师要帮助学生理清楚求解的是男生占据班级总数的多少，那么就是男生的总数 ∶ 班级的总数。男生的总数为20-8=12人。占比正确计算为12比20，简化为 。解题的时候要帮助学生理清的是哪部分是分子，哪部分是分母。其实可以总结为，某1占据某2的多少就是以最后的某2为分母。当然，这样的小技巧需要教师以更加容易记或者趣味的方式传达。

困难例题2：

小明家离学校总共1000米，在这个路程中每隔300米种植一棵树。请问能够种植的树是多少？种植第二课树的时候，距离占据总数长的多少？

解题思路：

在解决这道题的时候，还是首先分析题干，题干需要求出的能够种植多少棵树？那么按照分数概念来，就需要了解分数单位是多少？1000米中能够存在多少个分数单位。就像上文讲的，当有具体的数值的时候，学生在抓取“单位1”和分数单位时会出现混乱。这个时候需要使用到上面总结的小口诀，需要求证的占比最后位为分母。也就是300分之1000，最多能够种植3棵。种植第二棵的时候距离为2×300米=600米。占据比同理得1000分之600，简化得 。

在划分单位的时候和计算占比的时候，需要明白分数单位是多少，那么分数单位是占比的，可以根据框架A占B的 来进行记忆。需要求证的为分子，总数为分母。当然在进行易错题的计算时，还要根据具体的数值来进行简单的计算。通过易错题的分析，总结容易出错的环节，进行重点分析，重在帮助学生理解分数单位、分子和分母的关系。

編辑 谢尾合