寻找求解高考大题规律

廖捷

【摘 要】高考数学函数与导数一般在试卷中分布的是三到五个小题和一个大题，主要是考察学生对函数基本形式及图像变换规律的运用，导数部分主要是考察导数的几何意义以及运用不等式解题的综合知识，难度属于中等难度。本文就寻找求解高考大题规律加以分析。

【关键词】高考 数学 大题规律

有关函数与导数的小题压轴题是新课标全国卷的高频考题，高频题型：一是以导数面目包装的函数性质题（单调性、奇偶性、最值等）；二是用导数法判断函数f（x）的图象或已知函数图象求参数的取值范围；三是函数与集合、不等式、数列、平面向量、新定义等知识相交汇.高考数学导数题是高考中最难也是体现差距的最大的一道障碍，很显然单纯的训练做一些模拟题目基本很难突破这类题目，下面结合具体题目谈一谈高考大题规律。

一、分离参数——恒成立问题

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法.通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到.解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。

例1.设函数f（x）=ax^2-3x+1 对于x∈[-1，1] 总有f（x）≥0 成立，求a 的取值范围.

解：对于x∈[-1，1]，ax^2-3x+1≥ 0.故ax^2≥ 3x-1.当x= 0时显然成立；若x不为0，则有 a≥ （3x-1） / x^2 = 3/x-1/x^2 =9/4- （1/x-3/2）^2设t =1/x，则 t∈（- ∞，-1]∪[1， + ∞）；再设g（t） =9/4 - （t -3/2）^2.g（t）的图象是一开口向下的抛物线，在t = 3/2取最大值.故g（t）≤g（3/2） = 9/4.也就是说对于x∈[-1，1]且x≠0，（3x-1） / x^2≤9/4.∴ a≥9/4.

例2.讨论关于x的方程：lg（x-1）+lg（4-x）=lg（a-x）的实数解的个数.解： 原方程可化为：（x-1）（4-x）=a-x （1

恒成立的问题就是在给出一定的条件下，量变无论发生什么变化，命题是-定成立的。要解答恒成立的问题，就要涉及-次函数、二次函数、复合函数和函数导数等多个知识点，恒成立的问题考查了学生抽象概括的能力、论证的能力以及运算解题能力等多种数学能力，包含分类与整合思想和数形结合思想等多种数学思想，还有利于考査学生的综合解题能力与解题思维的灵活性并且激发学生的创造性也符合高考出题的立意，使学生把数学思维和解题方法有效地结合。由于取值恒成立问题涉及的知识很广，综合性强，学生在解题时借用知识模板来做题往往得不出结论，让学生琢磨不定，称为一个解题的难点。在解决不等式恒成立的问题时，重要的思维解题方法就是构造适当的函数，利用函数图像和性质来解决问题，也要注意一个含多个变量的问题，要确定合适的变量和参数来揭示函数的数量关系，一般就是知道一定范围已知的变量来解决范围的量为参数。

以2016全国卷甲：已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）为例：当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；若当X （1，+ ）时，f（x）>0，求a的取值范围。X （1，+ ）时，f（x）>0，（x+1）lnx/x-1>a恒成立，设h（x）=（x+1）lnx/x-1，设g（x）=-2lnx+（x+1）（x-1）/x，经过解题计算得出a 2。小结：恒成立问题转化为最值问题，是一个基本数学思想方法，但是这里难点就是最值不容易求，如果用到极限思想，结合求极限的洛必达法则，则问题就很简单了。

二、分离常数

分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

分离常数法：为了方便记忆，我们从分子到分母，每一项前系数依次设为a，b，c，d，公式推导应该用Y=（ax+b）/（cx+d）（c≠0）。所以，将形如Y=（cx+d）/（ax+b）（a≠0）的函数，分离常数，变形过程为（ax+b）/（cx+d）=[a/c（cx+d）+b-da/c]/（cx+d）=a/c+（b-da/c）/（cx+d） 。

a/c+（b-da/c）/（cx+d）可以稱作分式一般式分离常数公式。

这种方法纯粹是用到高中数学知识，但是有几个难点，第一个难点是最值不容易求，为了突破这一难点，仍然以以2016全国卷甲：已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）为例：当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；若当X （1，+ ）时，f（x）>0，求a的取值范围为例。首先求端点值h（1）=0，于是问题可以转化为两种情形的可能，第二个难点是尽管第二种情形还是要求最值，但是往往这种情形会被第一种情形包含或者否定掉，接下来第一种情形又可以转化为h（x）>=0恒成立，所以进一步转化为求导函数（或者导函数的一部分函数）的最值问题。设方程g（x）=0的两个根分别记为x1，x2，由韦达定理可得x1x2=1，因此可以设x1<10，不设防x在（1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增综上有，当x∈（1，+∞），h（x）>0恒成立，则a 2。

三、数形结合

数形结合是数學研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。通过“以形助数”和“以数辅形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。数形结合不仅是一种数学思想，也是一种很好的学习方法。在学习过程中有些学生觉得难以理解，有的甚至经常出现错误或混淆的内容，数形结合可充分利用“形”，把抽象的问题变得直观、形象，很容易引发联想，探索规律，得出结论。在函数曲线这个数学问题上，借形解题，不仅要画出函数图像或曲线的大致性转向，而且还有尽量准确地描绘图形，特别要注意在同一坐标系中，不同的函数相对的位置关系，在图上一一标明，更有助于提高解题的准确性。 通过图形构造解读不等式的解集、方程的根以及参数的范围；建立数形结合模型，处理量与量之间的变化关系。

函数的性质在高考中占有较高比重，其在函数知识的学习中也是一个十分重要的知识点。然而学生对于函数的性质即函数中量与量之间的关系一直视为一大难题，之所以形成这种局面是因为这方面的知识内容较为抽象，理解起来存在一定难度。为了克服这种不利的教学现状，教师可以将数形结合的教学方法融入日常教学活动中，借助直观形象的图形达到帮助学生理解知识，鼓励学生使用数形结合思想处理相关数学问题。如题：“已知方程x2-4x+3=m有4个根，求实数m的取值范围”此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决，即求解函数y=x2-4x+3与函数y=m图象的交点的个数。如此一来，原本抽象的数量变化关系就变得十分具体，数形模型的建立就是准确快速解答的前提。

1.借助数形转化关系帮助学生准确理解函数概念

高中数学教师设计函数概念课程时，应引导学生学习和掌握数与形之间的转化关系，这种转化关系主要体现为：（1）“由形化数”：借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的函数属性；（2）“由数化形”：根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征；（3）“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。教师应锻炼学生灵活运用和转化函数的不同表征方式，以完善对函数的基本性质理解，对培养学生对函数的三种语言之间的转换能力会起到很好的教学效果。

2.借助数轴的建立帮助学生深入理解函数意义

数轴是高中数学常见的一种数学事物，在数学之形元素中占有重要地位。当前缺乏对函数方程式具体意义的深入理解的高中生不在少数，大多停留在简单的认识层面，致使其函数的应用解题过程常常变得毫无头绪。因此，在高中数学的函数解题教学中，我们可以引入数轴模型帮助学生解读函数方程式的数字意义，从而降低学生学习函数知识和解题应用的难度。如题：“已知函数f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，求k的取值范围”在解答此类题目时，就要根据函数解析式，建立坐标系，在坐标系中分析题目中的数量关系，这样一来就能准确地理解题目含义并做出快速解答。

四、函数单调性法

先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a，d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。

五、结语

函数与导数是高中数学的重点内容，在新课标全国高考试卷中约占22～27分，函数与导数知识的选择、填空题大多在12，16题的位置，解答题常在20，21题的位置，均属压轴题，它也是高中数学中的难点内容，能否突破函数与导数题是高考得高分的关键.本文聚焦函数与导数题，谈其应对策略，旨在帮助考生突破难关，赢得高考。

参考文献

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