函数综合应用

李树逵

函数把客观世界的数量关系和空间形式反映得淋漓尽致，我们通过函数的表示，图像表达，解析式建构，可以清晰地认识到函数既是抽象的，又是具体的。我们在解决问题时，主动利用函数思想方，参变量一元化，表达式的一元化都为我们的研究带来方便。

在研究数学问题时，化归和转化时刻伴随我们，一元化的想法时刻影响着我们解决问题的思路。

例1、已知函数f（x）=x3-x

（1）求曲线y=f（x）在点M（t， f （ t ））处的切线方程

（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：-a

解析：

（1）f‘ （x）=3x2-1，曲线y=f（x）在点m（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f （t）（x-t）。

即y=（3t2-1）x-2t3

（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使得b=（3t2-1）a-2t3

若過点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根。

记g（t）=2t3-3at2+a+b则g‘ （t）=6t2-6at=6t（t-a）

当t变化时，g （t），g（t）变化情况如下表：

t （-∞，0） 0 （0，a） a （a，+∞）

g‘ （t） + 0 — 0 +

g（t） 增函数 极大值a+b 减函数 极小值 增函数

由g（t）的单调性可知，当极大值a+b<0或极小值b-f （a）>0时。方程g（t）=0最多有一个实数；当a+b=0时，方程g（t）=0具有两相异实根t=0或t=；当t-f （a）=0时，方程g（t）=0具有相异二实根

综上，如果过（a，b）可作曲线y=f （x）的三条切线，g（t）=0有三个相异实数根。则

函数问题非常重要，常常体现在主动把一些问题转化为函数问题，在解决这些问题的过程中，导数是非常重要的工具。切线问题，单调性问题，极值（最值）问题，利用导数能非常方便的解决，函数主要应用于不等式和方程中，等与不等是我们一直关注的问题，基本值是用整体讨论个体，用全局讨论局部，用共性讨论个性的应用，是演绎推理的典范。

数学的应用在于审时度势，胸有全局。东一榔头，西一斧头的解决方程可能得益于一时，但终究不是通法。

例2、已知函数

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：若

解析：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）

①若a-1<1而1

f ' （x）>0。故f（x）在（a-1，1）上为减函数，在（0，a-1）和（1，+∞）上为增函数.

②当a-1=1即，仅当x=1时f ' （x）=0故f（x）在（0，+∞）上为增函数

③当a-1>1而a>2时，同理可得f （x）在（1，a-1）上为减函数，在（0，1）和（a-1，+∞）上为增函数

（2）考虑函数

，由于10而g（x）在（0，+∞）上单调增从而当00，即有f（x1 ）-f （x2 ）+x1-x2>0，故

当

在导数学习过程中，我们体会到了规则步骤的必要性，更重要的是导数的思想和价值；任何事物的变化率都可以用导数来描述，用导数方法研究函数性质与初等方程比较，更一般有效。