基于串并联弹簧模型的混凝土黏聚律及裂缝扩展全过程分析

卿龙邦王 苗郝冰娟

(河北工业大学土木与交通学院,天津 300401)

混凝土是一种多相、非均质材料,由于制作过程存在搅拌、养护不足等问题,其内部存在随机分布的缺陷,如微孔洞、微裂缝等。在环境或荷载作用下,随机分布的缺陷容易并聚为宏观裂缝,进而影响结构的安全性。近年来,在混凝土裂缝扩展模拟方面开展了大量的研究[1鄄4],其中Hillerborg等[4]提出的虚拟裂缝模型得到了广泛应用,该模型采用黏聚律描述裂缝尖端黏聚力与裂缝张开位移之间的关系,由于黏聚律是准确模拟裂缝扩展的关键,其合理获取方法具有重要的研究意义。

目前,获取黏聚律的方法主要有直接方法和间接方法[5]。直接方法采用单轴拉伸应力-应变曲线,将其变形等效分解为线弹性区和黏聚开裂区的变形[6],由此即可得到黏聚律。直接方法具有简便、直观的特点。利用直接方法的思路,以热力学第二定律为基础,Cazes等[7]提出了一种基于能量等效原理获取黏聚律的方法,即假定混凝土损伤模型和断裂模型破坏过程中耗散的能量相等[8],利用损伤模型可得到断裂模型的裂缝黏聚律。

然而,以上方法均未考虑混凝土的随机特性。在反映混凝土材料的随机特性方面有多种混凝土随机损伤模型,其中较为典型的是平行单元模型[9鄄12]。平行单元模型采用单根杆件或弹簧表示微观结构,无穷多根杆件或弹簧并联表示宏观结构,通过杆件或弹簧破坏时极限应变服从的随机变量来建立微观结构和宏观结构之间的联系。在此基础上,李杰等[13鄄15]建立了串并联弹簧随机损伤模型,其核心思想是将单层的平行单元模型延伸至多层,进而能够更好地模拟应力跌落等软化现象。2014年,刘汉昆等[16鄄17]将非局部化理论引入到串并联弹簧随机损伤模型中,基于非局部理论进行了混凝土单轴受拉建模分析,解决了串并联弹簧模型中存在的层数敏感性问题。此后,在获取随机裂缝黏聚律方法研究方面,卿龙邦等[18]利用并联弹簧随机损伤模型,采用耗散能等效原理,得到了大坝混凝土的裂缝黏聚律,并利用得到的黏聚律模拟了裂缝扩展全过程。

本文在已提出的裂缝黏聚律获取方法[18]的基础上,进一步开展混凝土黏聚律的研究,基于串并联弹簧随机损伤模型,采用耗散能等效原理,研究微弹簧断裂应变分别服从Weibull分布和对数正态分布时对混凝土裂缝黏聚律的影响,以及黏聚律受串并联弹簧模型层数的影响,并比较基于耗散能等效方法获得的黏聚律和传统位移等效方法获得的黏聚律的区别。

1 位移等效方法和耗散能等效方法

1.1 位移等效方法

根据单轴拉伸试验,将单轴拉伸变形分解为断裂区的附加变形和断裂区外的变形两部分:

式中:驻l为总变形;l为拉伸试件原长;w为断裂区变形;着0为断裂区外的弹性应变。

1.2 耗散能等效方法

Cazes等[7]根据耗散能等效原理[8]得到了获取黏聚律的方法。如图1所示,两根长度相同的混凝土损伤杆和断裂杆,两端受相同拉伸力作用,加载过程中,损伤杆的变形沿杆长平均分布,而断裂杆的非线性变形主要集中在杆中间的黏聚区。假定两根杆在变形过程中任意瞬时耗散能增量相等:

式中:渍s为断裂杆的耗散能;渍为损伤杆的耗散能。根据损伤杆与断裂杆耗散能增量相同的原理,由损伤杆模型可建立断裂杆模型黏聚区的黏聚律,即断裂杆模型黏聚区的黏聚力与裂缝张开位移之间的关系。

图1 损伤杆模型和断裂杆模型

2 黏聚律获取方法

2.1 串并联弹簧随机损伤模型

如图2所示,串并联弹簧随机损伤模型由n个典型单元体(典型单元体由无数个等间距并联的弹簧组成)串联而成[9鄄12]。模型的高度为H=nh0,其中h0为材料特征高度。模型中每个微弹簧的弹性模量和横截面积相同,驻i为第i个微弹簧断裂时的极限应变,是服从同一概率分布的随机变量,常采用Weibull分布和对数正态分布[19]。

图2 混凝土单轴受拉模型示意图[13]

当典型单元体所受拉应变为着时,由于微弹簧断裂而退出工作的弹簧面积Af为

式中:k为微弹簧个数;Ai为第i个微弹簧的横截面积;H(着-驻i)为 Heaviside函数,满足

典型单元体破坏面的损伤变量定义为D(着)=Af(着)/A,则名义应力为

式中:A为典型单元体所有弹簧的总面积;E为弹性模量。

因为混凝土破坏时的显著特征是局部破坏,所以串并联弹簧模型的破坏是由某个单元体断裂产生的,此单元体称为主裂纹单元体,其他单元体称为非主裂纹单元体[13]。临界应变前,所有单元体应变相同;临界应变之后,主裂纹单元体应变继续增加,非主裂纹单元体卸载,应变不再增加。

临界应变前,所有典型单元体的应力-应变关系均可由式(5)表示。临界应变后非主裂纹单元体应力-应变关系为

式中:为非主裂纹单元体应变;着cer为临界应变。临界应变后主裂纹单元体应力-应变关系为式中^着为主裂纹单元体应变。

a.断裂应变服从Weibull分布。Weibull分布的概率密度函数为

式中着0、m为相关参数。

b.断裂应变服从对数正态分布。对数正态分布的概率密度函数为

式中分别为lnx的均值和标准差。

根据式(8)和式(9)中概率密度函数,可得到如下应力-应变表达式[18]:

式 中为变量ln着服从均值为姿、方差为孜2的对数正态分布函数。

2.2 基于面积等效的黏聚律获取方法

根据损伤杆耗散能在其本构关系中的体现,可将损伤杆单位面积耗散能用图3中阴影部分表示。

图3 损伤杆耗散能示意图

极限应变之前不形成黏聚裂缝,处于弥散损伤状态[19],损伤杆的耗散能为

极限应变之后,材料出现局部破坏,损伤杆在变形过程中所耗散的能量为

式中:渍i为损伤杆第i步的耗散能,对于普通混凝土,材料特征高度h0应至少大于断裂过程区高度,Ba觩ant等[20]建议一般取 3 倍骨料最大粒径;滓t、着t分别为损伤杆的极限应力和极限应变;滓i、着i分别为损伤杆在第i步的应力和应变;Si为图3中ABCD连成的曲线所包围面积的,其计算表达式为式中:着v、着v-1分别为损伤杆在第v步、第v-1步的应变;滓v为损伤杆在第v步的应力。

断裂杆耗散能在其软化曲线中的体现可由图4中阴影部分的面积表示,当串并联弹簧模型层数n=1时,其表达式为

式中:渍s,i为断裂杆第i步的耗散能;滓s,i为断裂杆黏聚区第i步的应力;棕z、棕z-1、棕i、棕i-1分别为断裂杆在第z步、第z-1步、第i步和第i-1步的裂缝张开位移。

图4 断裂杆耗散能示意图

得到损伤杆和断裂杆的耗散能之后,根据式(2),可建立黏聚力与裂缝张开位移的增量表达式。

由于断裂杆的应力和损伤杆的应力在相同变形下相同,即

将式(13)~(16)代入式(2),可得到n=1时断裂杆裂缝张开位移与黏聚力的关系式,即黏聚律:

当n>1时,极限应变前损伤杆的耗散能仍由式(12)表示。临界应变之前,主裂纹单元体耗散能和n-1个非主裂纹单元体耗散能都随其应变的增加而增加,总耗散能为两部分耗散能之和,即

式中:分别为损伤杆在第i步的非主裂纹和主裂纹单元体应变与应力;分别为(着t,滓t)、()、()、(着t,0)4点与(着t,滓t)、(^着i,^滓i)、(^着i,0)、(着t,0)4点依次连接而成的曲线所包围的面积,计算方法与Si类似。

临界应变之后,主裂纹单元体耗散能继续增加,非主裂纹单元体因卸载耗散能不再增加,损伤杆总耗散能为主裂纹单元体耗散能和n-1个非主裂纹单元体在临界应变时的耗散能之和:

式中:滓cer为损伤杆的临界应力;Scer为图3中(着t,滓t)、(着cer,滓cer)、 (着cer,0)和(着t,0)4 点依次连接而成的曲线所包围的面积,计算方法与Si类似。

同理,将损伤杆耗散能式(18)和式(19)、断裂杆耗散能式(15)代入式(2),即可得到n>1时断裂杆的黏聚律,仍由式(17)表示。

3 利用黏聚律模拟裂缝扩展全过程

采用文献[21]的试验数据来对比分析耗散能等效方法与位移等效方法得到的黏聚律的区别,并基于获得的黏聚律模拟裂缝扩展全过程,验证采用耗散能等效方法获取黏聚律时不受串并联弹簧模型层数的影响。根据文献[21]中直接拉伸试验,得到模型参数为m=2郾16、着0=129郾58伊10-6、姿=4郾76、孜=0郾6,对微弹簧断裂应变分别按服从Weibull分布和对数正态分布的情况进行计算。不同串并联弹簧模型层数时单轴受拉本构关系如图5所示(为便于分析比较,将本构关系标准化)。

图5 混凝土单轴受拉本构关系

依据前文提出的黏聚律获取方法,分析在串并联弹簧模型层数n取不同值时黏聚律的变化规律。当n=1时,分别采用耗散能等效方法和位移等效方法获得的黏聚律见图6;当n>1时,基于Weibull分布得到的黏聚律如图7所示,基于对数正态分布得到的黏聚律如图8所示。

图6 试验实例黏聚律(n=1)

图7 试验实例黏聚律(n>1,断裂应变服从Weibull分布)

图8 试验实例黏聚律(n>1,断裂应变服从对数正态分布)

由图6可知,在相同的裂缝张开位移下,基于Weibull分布得到的黏聚律的耗散能小于基于对数正态分布的情况;采用耗散能等效方法获得的黏聚律和采用位移等效方法获得的黏聚律相同。由图7和图8可知,采用耗散能等效方法获得的黏聚律受串并联弹簧模型层数影响较小,随着模型层数的增加,所获得的黏聚律逐渐逼近模型层数为1时的情况,最后几乎重合。可见当n=1时,采用耗散能等效方法与采用位移等效方法获得的黏聚律相同;当n>1时,采用耗散能等效方法获得的黏聚律不依赖于模型层数。

为探讨串并联弹簧模型层数对混凝土裂缝扩展全过程的影响,基于上述计算得到的黏聚律,选取文献[21]中编号为SL43鄄3的大坝混凝土三点弯曲梁试件进行模拟计算,试件长、宽、高分别为1600 mm、200 mm和400 mm,初始缝长为156 mm,缝高比为0郾39,抗拉强度为 2郾052 MPa,弹性模量 35郾0 GPa。以断裂应变服从对数正态分布时的黏聚律为例,分别基于耗散能等效方法和位移等效方法获得的黏聚律模拟了大坝混凝土裂缝扩展全过程,计算得到的荷载-裂缝张开位移(P鄄CMOD)曲线如图9所示。

图9 三点弯曲梁试件荷载-裂缝张开位移曲线

由图9(a)可以看出,不同串并联弹簧模型层数时计算得到的荷载-裂缝张开位移曲线几乎重合,并与试验结果吻合较好;采用位移等效方法获得的黏聚律(图9(b))模拟裂缝扩展结果离散性较大。可见,随着串并联弹簧模型层数的增加,采用耗散能等效方法获得的黏聚律模拟裂缝扩展时,荷载裂缝张开位移曲线基本不受模型层数影响,较大程度上减轻了模型层数敏感性问题,验证了本文方法的合理性。

4 结 论

a.基于串并联弹簧随机损伤模型,结合耗散能等效原理,获得了混凝土裂缝黏聚律。

b.黏聚律受微弹簧断裂应变服从的概率密度函数影响。基于Weibull分布得到的黏聚律耗散能小于基于对数正态分布得到的黏聚律耗散能。

c.采用耗散能等效方法得到的黏聚律基本不受串并联弹簧模型层数影响,解决了在获取裂缝黏聚律时的模型层数敏感性问题。

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