基于分形理论的高强混凝土动态损伤本构关系*

焦楚杰，李习波，程从密，李从波

(1.广州大学土木工程学院，广东 广州 510006； 2.清远市省级职教基地筹建办公室，广东 清远 511500)

混凝土是一种包括多级多相介质的非均匀材料。在混凝土破坏过程中，其裂缝扩展方向通常按照“Z”字形路径向外扩展，并且在尺寸较大的“Z”字形裂纹之中，穿插着较小尺寸的“Z”字形裂纹，错综复杂的裂纹使混凝土构件的断裂面表现出凸凹不平的破坏形态[1-2]。分形理论适用于描述上述不规则性、不确定性、模糊性和非线性[3-4]。本文中拟基于前期C60、C80级高强混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB冲击实验[5]，采用分形维数的方法分析HSC在SHPB冲击荷载作用下的内部细观损伤演化行为，并对其采用动态损伤因子进行定量分析，研究HSC的动态损伤本构关系。

1 基于分形理论的损伤演化

1.1 基本假定

Bazant等[6]发现，当测量尺度δ无限趋近于零时，分形曲线长度将趋近无穷大。然而，实际试块的裂纹扩展路径不可能达到无穷大的长度。因此可以假定，在量测尺度范围[δmin，δmax]内，试块破坏由分形裂纹扩展而引起。此外，参照平板单向受拉I型单裂纹扩展断裂问题(如图1所示)，增加如下假定：混凝土试块处于平面应力状态，扩展裂纹具有分形自相似性。

假设荷载作用下试块裂纹扩展长度为2l，裂纹扩展的投影长度为2l0，Mandelbrot等[7]研究表明：

(1)

式中：Df为裂纹的分形维数，取值范围为1.0～2.0；δ为裂纹测量尺度，满足：

(2)

式中：ri为横截面分形维数的测量尺码，以粗骨料的最小粒径为观测尺度；a为被覆盖区域的特征尺寸，在R2平面区域上，a为区域的边长；δ的取值范围为[δmin，δmax]。

谢和平等[8]确定了混凝土损伤分形的物理标度域范围，即δ∈(0，1]。由前期实验结果，ri=5 mm，a=70 mm，因此：

(3)

依照Borodich力线法的定义[9]，当试块无初始裂纹时，力线近似为直线。当试块开裂后，裂纹区域的开始逐渐得到释放，裂纹尖端附近的力线场表现出非均匀性，此时，开裂区域近似表现为菱形或椭圆形，如图2所示。

根据分形曲线的特征，图2中的裂纹区域边界可以由标准Kock分形曲线构造而成。如果构造过程中裂纹区域的面积保持不变，则裂纹区域的边界周长L为：

(4)

由此可得：

(5)

同时，由式(5)可得裂纹分形区域周长L与面积A(一般假设为常数λl02，其中λ为与开裂区域形状有关的常数)的关系：

(6)

1.2 分形损伤演化

在SHPB实验中，HSC试块在不同应力作用水平下，承载面内微裂纹的分布具有分形的自相似性，图3为显微镜观测HSC试块承载面上细观微裂纹分布图，在到达峰值应力前，损伤区域的分形维数随着应力增加而增加；在峰值应力点时，分形维数在损伤区域达到极限值；超过峰值应力后，数值开始下降，分形维数在承载面损伤区域的变化反映出HSC试块内部细观损伤演化行为。

在欧氏几何图形中，图形面积A0与周长L0之间的关系为：

(7)

式中：η0为图形的形状参数。考虑分形效应的损伤变量时，参考裂纹区域边界周长式(4)和文献[10]，损伤面的分形周长L和表观周长L0之间的关系为：

(8)

欧氏材料表观损伤变量[11]定义为：

(9)

将式(7)代入式(9)，推导出试块的表观损伤变量ω可以表示为：

(10)

式中：Ak和Ac均为跟图形形状有关的参数，在同一研究对象中取值相等；Lk、Lc分别为Ak和Ac对应断裂面的周长。

根据分形损伤变量ωf跟表观损伤变量ω之间的关系，并结合升维法可以得到关系式[12]：

(11)

将式(6)代入到式(10)得：

(12)

将式(11)代入到式(12)可得出分形空间内分形损伤变量:

(13)

由式(13)可知，分形损伤变量仅跟裂纹扩展分形维数有关，与量测尺度δ无关；又因为Ac是承载面的初始承载面积，因此Df,c= 1.0，并将其代入式(13)，则:

(14)

式(14)即为所求的混凝土分形损伤变量表达式。若Df,k=1，则16(1-1/Df.k)=1，表示裂纹还未开始扩张，Df,k=Df,c=1，即分形损伤变量跟表观损伤变量相等，扩张裂纹为光滑，无分形效应。

对Df,k的取值范围进行讨论，由式(14)可知，则ωf是关于Df,k的增函数，因此Df,k在(1,2)范围内有最大取值。由式(3)和损伤的含义：

(15)

计算可得Df,k≤1.604，即Df,k的取值范围为1.0～1.604。其物理意义是HSC试块的分形损伤限值为1.604，超过该限值后，HSC试块便失去承载能力。

2 HSC动态损伤本构关系的建立

唐志平[13]针对环氧树脂的冲击力学性能研究，提出了朱-王-唐(ZWT)本构模型：

(16)

在冲击载荷条件下，HSC表现出更强的应变率相关性，并且还伴有动态损伤的发生和扩展，因此，需要对ZWT模型进行改进。式(16)中，f(ε)表示与应变率无关的平衡态应力，共由3项组成，描述了材料的非线性弹性响应。试块在达到一定的应变时，混凝土试块内部的微裂纹逐渐出现失稳扩展，导致试块的损伤，应力-应变曲线表现出明显的非线性，但是在应变较小的应力-应变曲线初始阶段，实验曲线表现为近似的线性[14]。因此可以把f(ε)近似为线弹性，即：

(17)

(18)

混凝土材料的本构非线性主要源于动态损伤演化影响，而动态分形损伤演化与应变率敏感阈值密切相关。混凝土的应力-应变曲线上升段主要呈现线性，下降段主要呈现非线性。因此，要获得混凝土应力-应变曲线的下降段，就必须考虑动态损伤演化的影响。

结合式(14)和式(18)，考虑动态分形损伤演化的混凝土动态损伤本构方程为：

(19)

式(19)中待定参数较多，本文中采用如下方式进行处理。

(1) 忽略准静态条件下黏弹性项的影响，根据准静态应力-应变曲线切线的斜率可以直接确定E0。

(2) 低应变率条件下，高频Maxwell单元的影响很小，将动态和准静态应力-应变曲线(应变相同处)相减，得出式(20)，由此求得E1、θ1。由于相减部分为非线性不显著段(ε<0.01)，此时试块还无明显损伤，可以不考虑损伤项的影响。

(20)

同理，由于高应变率条件下，低频Maxwell体部分的影响很小，可以根据高应变率下SHPB实验获得的应力-应变曲线相减，得出式(21)，求得E2、θ2的取值范围。

(21)

(3) 根据高应变率和准静态应力-应变曲线相减，在前面两步的基础之上，再按照式(22)最终拟合出E1、θ1、E2、θ2。

(22)

3 HSC本构模型的参数拟合与实验验证

采用前面介绍的3个步骤处理，利用高频Maxwell单元和低频Maxwell单元影响性的大小，对模型中的参数进行拟合求解。基于实测曲线，对HSC损伤本构方程进行拟合。C60级HSC的拟合结果为：E0=29.4 GPa，E1=8.1 GPa，θ1=0.1 s，E2=25.7 GPa，θ2=9.0×10-5s；C80级HSC的拟合结果为：E0=34.4 GPa，E1=8.9 GPa，θ1=0.1 s，E2=36.2 GPa，θ2=2.1×10-5s。

采用HSC试块在SHPB冲击压缩实验结果对动态损伤本构模型进行验证。设分形损伤因子Df,k分别为1.1、1.3、1.5、1.6，并取4组不同应变率工况下的C60、C80级HSC的应力-应变曲线进行比较。将实测曲线与理论模型计算所得曲线画于坐标平面内，如图4～5所示，其中实线为实测曲线，虚线为理论曲线。由图4～5可知，理论曲线和实测曲线符合较好。

4 结 论

(1) 基于C60、C80级HSC的SHPB冲击实验，依照HSC试块裂纹的不规则性、裂纹断裂表面的粗糙性具有自相似性和无标度性，采用分形维数的方法来分析HSC试块的内部细观损伤演化行为，推导出了HSC分形损伤变量表达式，标定了HSC裂纹的分形维数范围为1.0～1.604，其物理意义是HSC的分形损伤限值为1.604，达到这个限值，HSC试块失去承载能力。

(2) 参考ZWT模型，结合HSC实验过程中的应变率相关性、动态损伤特性，以及近似恒应变率，推导出了动态分形损伤演化的HSC动态损伤本构方程。为了便于方程参数的确定，根据准静态、低应变率、高应变率荷载下的HSC材料特性，对方程的各子项进行取舍。

(3) 采用4组应变率工况下C60、C80级HSC应力-应变曲线，对HSC动态损伤本构方程进行验证，模型曲线和实验曲线有较好的吻合。

参考文献:

[1] 焦楚杰.高与超高性能钢纤维砼抗冲击与抗爆研究[D].南京:东南大学,2004.

JIAO Chujie. Study on behaviour of HPSFRC and UHPSFRC subjected to impact and blast[D]. Nanjing: Southeast University, 2004.

[2] ERDEM S, BLANKSON M A. Fractal-fracture analysis and characterization of impact-fractured surfaces in different types of concrete using digital image analysis and 3D nanomap laser profilometery[J]. Construction and Building Materials, 2013,40(40):70-76.

[3] SAGAR R V, PRASAD B K R. Fracture analysis of concrete using singular fractal functions with lattice beam network and confirmation with acoustic emission study[J]. Theoretical & Applied Fracture Mechanics, 2011,55(3):192-205.

[4] CARPINTERI A, LACIDOGNA G, NICCOLINI G. Fractal analysis of damage detected in concrete structural elements under loading[J]. Chaos Solitons & Fractals, 2009,42(4):2047-2056.

[5] 李习波.混杂纤维高强混凝土动态损伤本构关系[D].广州:广州大学,2015.

LI Xibo. Dynamic damage constitutive relationship of hybrid fiber reinforced high strength concrete[D]. Guangzhou: Guangzhou University, 2015.

[6] BAZANT Z P, PFEIFFER P A. determination of fracture energy from size effect and brittleness number[J]. ACI Materials Journal, 1987,84(6):463-480.

[7] MANDELBROT B B, PASSOJA D E, PAULLAY A J. Fractal Character of Fracture Surfaces of Metal[J]. Nature, 1984,308(5961):721-722.

[8] 谢和平,鞠杨.混凝土微细观损伤断裂的分形行为[J].煤炭学报,1997,22(6):586-590.

XIE Heping, JU Yang. Fractal characteristics of meso/micro damage and fracture of concrete[J].Journal of China Coal Society, 1997,22(6):586-590.

[9] BORODICH F M. Some fractal models of fracture[J]. Journal of the Mechanics & Physics of Solids, 1997,45(2):239-259.

[10] 谢和平.分形—岩石力学导论[M].北京:科学出版社.1997:2-15,168-170.

[11] LEMAITRE J, CHABOCHE J L. Mechanics of solid materials[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1990:511-520.

[12] 谢和平.鞠杨.分数维在空间中的损伤力学研究初探[J].力学学报,1999,31(3):300-310.

XIE Heping, JU Yang. A study of damage mechanics theory in factional dimensional space[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 1999,31(3):300-310.

[13] 唐志平,田兰桥,朱兆祥,等.高应变率下环氧树脂的力学性能研究[C]∥第二届全国爆炸力学学术会议论文集(第三册).江苏扬州,1981.

[14] JIAO Chujie, SUN Wei. Impact resistance of reactive powder concrete [J]. Journal of Wuhan University of Technology (Materials Science Edition), 2015,30(4):752-757