导数在高中数学中的应用探讨

张振

摘 要：导数是数学发展史中一项重要的发明，在几何之后一个具有跨时代意义的伟大研究，也被称为数学史中的里程碑。本文主要分析高中数学中导数的应用，阐述根据导数知识对高中数学问题研究的方法。

关键词：导数 高中数学 应用

高中数学的应用及其广泛，导数也从以往辅助地位提升到分析和解决问题中不可缺少的功能。导数是高中数学中的重点内容，也是对函数性质的总结与扩展，并且导数运用可以解决生活中常见的很多问题。导数在高考当中逐渐成为热点，根据导数解决实际问题，主要可以培养学生建模、总结、反思等能力。以下针对导数在高中数学中的应用进行探讨[1]。

一、导数的含义

1.导数的基本概念

导数是微积分中的重要基础概念，也是函数的局部性质，当一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点的变化率，如果函数的自变量和取值都是实数，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表曲线在这一点上地切线斜率。导数的本质就是通过基础概念对函数进行局部线性逼近。但是，不是所有的函数都有导数，一个函数中也不一定所有的点都有导数，假如某一个函数在某一点中有导数存在，可称其为这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定是连续的，不连续的函数一定不可导。微积分基本定理表明求原函数与积分是等比的，求导和积分是一对互逆的状态，都是微积分学当中最基础的概念。

2.导数与函数的性质

导数与函数的性质可分为单调性和凹凸性，若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数与零相同则为函数驻点，不一定为极值点，需带入驻点左右两边的数值求导数正负判断是否具有单调性[2]。若已知函数为递增函数，那么导数大于等于零，如果已知函数为递减函数，导数则小于等于零。当变化时函数的切线变化，函数的导数值就是切线斜率；可导函数的凹凸性与导数的单调性相关，当函數的导函数在某一个区间上单调递增，这个函数区间是向下凹，反之为向上凸。当二阶导函数存在时，可用正负性进行判断，在某一区间大于零，这个区间的函数是向下凹，反之区间函数向上凸，曲线的凹凸分界点称作为曲线的拐点。

二、导数的计算与求导法则

复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，也可以成为链式法则，变限积分的求导法则为：

a（x），b（x）为子函数。在高中数学当中应用导数，不仅可以提高学生的思维开拓，还能促进学生扩展创新的能力，导数的计算就是，计算已知函数的导函数，可以根据导数的定义运用变化值的极限进行计算，在实际学习计算过程中，很多常见的解析函数都可以当做简单函数的和、差、积或者相互复合的结果，只有对简单函数的导函数进行整体掌握，才能根据导数求导法则推算复杂函数的导函数[3]。

导数的求导法则是由基本函数的和、差、积或者相互复合构成函数的导函数，通过函数的求导法则来对导数的求导法则进行推导，基本法则主要分为四种方式：一是求导的线性。函数的线性组合求导，相当于对其中各个部分求导后在进行线性组合；二是两个函数乘积的导函数。一导乘二+一乘二导；三是两个函数商的导函数是一个分式。子导乘母-子乘母导，除以母平方；四是当有复合函数时，用链式法则进行求解。

三、导数在高中数学中的具体应用

1.导数在不等式证明问题中的应用

在高中数学学习过程当中，不等式证明是高中数学中的一个难点，也是综合性较强的一个知识点，对学生的思维能力要求很高，很多数学问题采用常规方法难以得到证明结果，就需要根据高中数学，新增内容导数进行解决问题[4]。在教学中运用导数概念，对不等式进行问题解析，能够引导学生更快的完成问题内容，将不等式与函数进行相互结合，利用导数的相关内容，可以快速解决问题。

比如设函数：

2

2

'

当时，'当时，'所以在（0，1）上递增（1，+∞）上递减，而g（1）=0，所以时，即。因此，采用导数对不等式进行证明，需要创造新的函数，根据新函数的最值解决不等式证明问题。

2.导数在求解函数极值、最值中的应用

采用函数对极值进行求解，主要包含四种内容，一是根据导数的概念，求解出导数的数值；二是确定函数的定义，分析出函数的值处在什么范围；三是参照导数公式'，对导数的全部实根进行求解；四是观察'根的状况，比如根的两侧符号出现变化，左正右负，则说明的根是极大值，反之左负右正，的根是极小值，可根据这两种状态进行判断。

3.根据导数意义确立函数解析式

在函数当中求解函数解析式，可以对函数的性质进行更好的研究，在函数的应用当中，函数性质的研究对函数解析可以起到更好的作用[5]。比如，已知函数原状态是32，此函数坐标图像在轴具有交点，称A，根据图像画图可以掌握，该函数在A点交点的切线方程是。已知的点在时可以获取极值，根据已知的条件，列出函数相对应的解析式。

解题：根据题目中已知的条件，可以了解到函数

32当中轴相交的点为A，因此A点的坐标可以得出（0，），曲线A点的切线方程在题目中提到为。A点满足函数条件，可得，切线斜率为，那么在中的导数可以求出lx=0=15，根据函数原型进行求解，可以得出2lx=0=c，根据这两个公式可以对函数参数C进行求解为c=15，如题中已知条件，函数在时可以求出0为极值，根据上诉分析，可列出方程组进行求解：

方程组解出的数值为，，

将，，c=15带入进原函数内

函数解析式可以求出3b2+。

结语

导数在高中数学当中的应用，是高中数学最有力的工具，不仅能够提高学生解决问题的能力，还能体现数学中的中心思想，对于实际问题的解决办法，导数提供了有效的作用。导数在理解教学过程当中具有一定的难度，教师应当在教学过程当中，将实例与导数相互结合，充分进行问题解析，不断对导数在高中数学的应用进行研究探讨，只有这样才能够使学生更深刻掌握导数概念，为以后的深入数学学习奠定坚实基础，

参考文献

[1]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨[J].科学大众（科学教育），2016（12）：27.

[2]程慧.导数知识在高中数学学习中的应用探讨[J].速读（上旬），2017（9）：141.

[3]刘金球.高中数学例题解答中导数的应用探讨[J].中学生数理化（学研版），2016（2）：33-34.

[4]周海锋.高中数学导数教学的再思考[J].教师，2015（32）：43.

[5]马僖泽.关于高中数学导数教学有效性探微[J].新教育时代电子杂志（教师版），2016（38）：97.