充分条件和必要条件的判定与应用

张西情

摘 要：本文主要有两方面的内容，一是介绍了三种常用的判定充分条件和必要条件的方法；二是给出了充分必要条件的应用。

关键词：充分条件 必要条件 集合思想 等价转化思想

充分必要条件作为考纲中的必考内容，它的要求是“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义”。虽然，在近几年的高考课标卷中，几乎都没有进行直接考察，但是它可以和许多知识点综合，仍是高考命题的活跃点。所以，我们在学习充分必要条件的过程中，首先要明确如何判定充分条件和必要条件，然后才能应用充要条件解决相关的综合问题。[1]

一、几种常用的判定方法

1.定义法

定义法就是直接利用充分条件和必要条件的定义进行判定，这是最基本、最常用的方法，利用“是的什么条件”关键就是根据相关知识分析与之间的推出关系。[2]

（1）如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

（2）如果p?q，但qp，则p是q的充分不必要条件；

（3）如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

（4）如果q?p，且pq，则p是q的必要不充分条件；

（5）如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。

例①已知：，：，则是的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：若，根据函数性质，必有，所以由可以推出；若，根据正弦函数的周期性，或，所以由不能推出。由此可知是充分不必要条件，故选（A）。

2.等价法（逆否法）

当所给的命题条件和结论之间的关系不好判断时，常利用互为逆否的命题同真假来进行等价转换，从而判断条件类型。即 “原命题逆否命题”，“否命题逆命题”进行等价转换，一些否定形式的命题常用这种方法。

（1），等价于，即p是q的充分條件。

（2）p q，等价于﹁q﹁p，即p是q的既不充分条件。

例②已知：不是偶数，：，不都是偶数，则是的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：因为“若，则（若，都是偶数，则是偶数）”为真命题，所以由可以推出；因为“若，则（若是偶数，则，都是偶数）”为假命题，所以由不能推出。由此可知是充分不必要条件，故选（A）。

3.集合法

从集合的观点看，建立命题，相应的集合：：，：，则有

（1）若，则是的充分条件，若 ，则是的充分不必要条件；

（2）若，则是的必要条件，若 ，则是的必要不充分条件；

（3）若，则是的充要条件；

（4）若且，则既不是的充分条件，也不是的必要条件；

因此，判断是的什么条件，也可以从集合的角度借助数轴来考虑。

例③设集合，，则“”是“”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：由题意，结合数轴易得，所以若“”不一定推出“”；若“”，则“”。所以“”是“”的必要不充分条件，故选（B）。

在判断充分条件和必要条件时，灵活运用上述三种方法，必会事半功倍。[3]

二、与充分必要条件结合的综合问题---求参数取值范围

根据充要条件求参数范围，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合直接的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式（组）求解；有时也采用等价转化思想把复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决。最后，在解题的过程中，一定要注意区间端点值的检验，此处容易增解或漏解。

1.利用集合思想求解

例④已知P={x|x2-8x-20≤0}，非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}。若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围。

解析：由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，

∴P={x|-2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.

则

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]。

2.利用等价转化思想求解

例⑤已知条件p：x2+2x-3>0；条件q：x>a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是（ ）

A.[1，+∞） B.（-∞，1]

C.[-1，+∞） D.（-∞，-3]

解析：由x2+2x-3>0，得x<-3或x>1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件。

∴{x|x>a} {x|x<-3或x>1}，

∴a≥1. 选A。

最后，我们都知道，任何知识的学习都不是独立的，充要条件也是如此，并且它的灵活性和综合性都很强，我们需要做的是理解它的意义，明确它的判定，并熟练掌握其他知识，最终达到应用它来求解一些简单的综合问题，这样在面临高考中关于充要条件的考查，我们才能以不变应万变，笑对高考。

参考文献

[1]严士健，王尚志.数学（选修2-3）教师教学用书[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]石立坤，刘际山.鼎尖教案-数学北师大选修2-1[M].吉林：延边教育出版社，2016：14-38.

[3]曲一线，王全银。5年高考3年模拟[M].北京：教育科学出版社，2012：5-8.