对有理函数极限的再认识

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(青岛大学数学与统计学院)

一、理论背景

对刚刚步入大学校门的学生们来说，中学阶段形成的思维方式成为影响大学数学学习的重要因素，他们头脑中已有的知识储备和思维模式往往决定了他们解决数学任务时的策略。而课堂中不同的数学课堂实践活动又决定着学生的推理活动，从而影响学生对数学任务的理解模式和思维方式。

Freudenthal提出了基于现实数学教育的“再创造”教学方法，这种方法是将数学作为一种活动来进行解释和分析。数学实践作为一种特殊的活动，教师应按照以下四个要素来指导教学：任务(活动的性质和目标)；技巧(相应于任务的技巧)；技术(判断该技巧的技术)；理论(支撑该技术的理论)。这里的“技术”可以是概念、程序或法则，它是关于数学技巧的论述，也就是让实践者来回忆、思考并发现这个技巧。而“理论”则是为定义概念、判断程序及法则提供清晰的知识体系和结构框架。

然而，目前的大学数学教育在传统评价体系的束缚下，常规性的操作练习和考试测验成为检验学生的重要而且唯一尺度。但是，这些标准化的数学实践活动对学生思维方式的发展并没有太大的作用，甚至在一定程度上是阻碍了学生能力的发展。更糟糕的是我们的教学法却一直在传授这些要“教”或“考”的知识，而各自的技术和理论却在呈现逐年削弱的趋势。

二、教学实践

《高等数学》在讲授极限的运算法则时，教材中会涉及有理函数极限的计算问题。

从具体案例可以看出，有理函数极限的计算似乎都在强调解题的技巧，从教学法的角度来看，这种教学模式仅仅是停留在代数运算阶段，学生所获取的知识也只是一些零散的小技巧而已。而真正体现数学思想和方法的理论模块则根本没有涉及到，也就是没有真正告知学生这些技巧背后的理论。

三、调查结果

教师在处理有理函数的极限计算问题时，他们应当意识到“约掉零因子”这个技巧不仅仅是中学阶段的因式分解问题，更重要的是反应出极限的理论即“两个函数除了一个点外处处相等，则两个函数在该点的极限相同”。这种极限理论关注的则是极限的ε-δ定义，而我们的绝大多数教师则很少或几乎没有关注到这些理论，因此这种数学教学就导致了理论和计算的脱钩，数学学习在学生看来就成为纯粹的代数运算和技巧的使用。

学生的这种感知并非是空穴来风，我们在一项问卷测试和访谈中发现，很多学生把有理函数的极限计算完全归结为因式分解问题。通过整理分析学生的回答，我们发现学生把这种任务类型分成了两类：

这时，表达式中的多项式通常是可以利用一些代数技巧来因式分解，如“平方差公式”“分配性质”，等等。他们通常认为这种涉及多项式的极限计算问题不可能仅仅通过代入即可求得，一般会考察其他的一些知识点。

四、教学启示

学生的这种自发的知识模型让我们充分意识到，常规的习题训练和标准化的考试题目对他们的数学感知产生了重要的影响。学生似乎是按照有理函数的表达式形式将极限分成了不同的任务类型，而不是按照微积分的规范如未定式类型等。

由于传统的关于有理函数的极限考试题、教材练习、课堂例题以及随堂测验大都是涉及二次或三次多项式，因此学生自然会认为这是一种社会规范。这无疑给我们的数学教学敲响了警钟，学生并不是基于数学的规范把极限进行分类的，而是基于认知、社会及教学法的规范；从学生认知角度看，他们普遍认为“如果一个多项式很容易因式分解，那就分解吧”，他们也表示“一看到x2-9这种多项式，大脑就异常兴奋”；而且在实际教学中，教师给学生的题目任务往往通过因式分解就能解决，在学生看来这是一个有效的解决数学任务的策略。学生的这种感知并非是从数学角度出发的，离开数学规则而大谈技巧或常规，这在一定程度上可以说是数学教育的失败。

数学课堂要教的知识绝不是为评价学生而设定的常规性任务及相应的技巧，更重要的是要传授给学生这些运算(活动)所依托的理论(技术)，这是数学教育最重要的也是最根本的任务。

[1]Lithner，J. Students’ mathematical reasoning in university textbook exercises.Educational Studies in Mathematics， 2003，(52)：29.

[2] Freudenthal，H.Mathematics as an Educational Task，Reidel，Dordrecht.1973.

[3]Freudenthal，H.Revisiting Mathematics Education.China Lectures，Kluwer，Dordrecht-Boston-London.1991.

[4]Hardy，N.Students' perceptions of institutional practices：the case of limits of functions in college level Calculus courses.Educational Studies in Mathematics，2009，(72)：341.

[5]同济大学数学教研室.高等数学(第六版)[M].北京：高等教育出版社，2002.