浅谈中考中常见图形的折叠问题

摘 要：近几年各地中考中常出现几何折叠问题，几何折叠问题的实质是轴对称图形性质的应用，解题的关键是根据轴对称的特殊性质，搞清折叠前后的变量与不变量，本文探究这类题的解法。

关键词：中考；几何折叠问题；解题

近几年的各地中考中常出现几何折叠问题，常见的有矩形的折叠、三角形的折叠等，它能够灵活考查学生的动手操作能力、空间想象能力和数形结合的数学思想方法。几何折叠问题的实质是轴对称图形性质的应用，解题的关键是根据轴对称的特殊性质，搞清折叠前后的变量与不变量，折叠后又有哪些条件可利用，找到有关线段、角的相等关系，运用三角形全等（或相似）、方程等知识求解。因此必须熟悉轴对称图形的性质： ①图形的全等形：重合部分是全等图形，对应边角相等；②点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。本文依据折叠的规律（折叠部分的图形折叠前后，折痕成轴对称，两图形全等）来探究中考题中这种题型的解法。

一、折叠后求图形的形状

例1：将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

A.矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形

答案：D

例2：用一张矩形纸，如图1，矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到Rt?ABE，沿着EB线折叠，得到?EAF（如图2）。判断?EAF的形状。

分析：根据图一折叠情况可知，N为CD中点，PN//AD，∵点P是AE的中点，∴在Rt?ABE中PA=PB，∴∠2=∠3。又∵PN//AD，∴∠1=∠3。根据折叠规律（如图3）∠4=∠2，∴∠1=∠2=∠4=30°，∴∠EAF=60°=∠AEF，∴?EAF为等边三角形。总结：这类折叠后图形形状问题的解决，我们既可以通过动手实践，操作的方法，迅速得到标准、正确的方法，也可以利用在折叠过程中的轴对称性，一步步推导解决。

二、折叠后求角的度数

例3：（绍兴，2004）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD等于（ ）

A、108° B、144° C、126° D、129°

分析：这是一道让学生动手操作的实践题目，学生根据已有的生活经验解题，也可以从最后的五角星图形中来计算出答案，应选择C。

例4：（福州，2000）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D落在边BC上的F点处，若∠BAF=60°，则∠DAE= 。

分析：根据折叠的规律：可证?ADE≌

?AFE，从而∠DAE=∠FAE=（90-60）÷2=15°。总结：在折叠问题求角度的计算中，可以通过折叠得到图形的全等，进而得到角相等，对于有些题目还可以利用动手操作的方法来解决。

三、折叠后求线段的长度

例5：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

分析：设EC=x，则EF=DE=8-x，在Rt?ABF中，AF=AD=10，AB=8，∴BF=6，FC=4，在Rt?EFC中，由勾股定理，得：（8-X）2=X2+16，解得x=3cm。

变式：矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则D点的坐标为 。

解：∵∠BAC=∠B′AC，∠BAC=

∠OCA，∴∠B′AC=∠OCA，∴AD=CD，设OD=x，AD=5-x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5-x）2，解得：x=2.1。总结：折叠问题，求线段的长度，往往利用折叠图形的全等形得到对应边相等，然后构造直角三角形利用勾股定理求出相应边的长度，或是利用在同个三角形中，等角对等边来得到转化。

在折叠问题中，除了求折叠后的图形形状、角度、线段长度外，还有折痕，面积，或是放在平面直角坐标系中求点的坐标。折叠的实质问题就是轴对称，只需要抓住轴对称的性质：变换前后的对应线段相等，对应角相等，常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。

图形折叠问题中题型的变化比较多，但不难发现其中的规律： ①图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；②图形的翻折部分在折叠钱和折叠后的位置关于折痕成轴对称；③解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，进一步发现其中的数量关系；④充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的數量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解。

参考文献：

[1]刘金江.探究性图形折叠问题归类剖析.学生之友（初中版），2005.

[2]张学斌.例谈几何图形折叠问题的解法.中学数学研究，2004.

[3]陈厚嵩.中考图形折叠问题.中学数与学，2007.

作者简介：高岚，杭州市萧山区瓜沥镇第一初级中学。