“确定圆的条件”教学设计

曹鸣军

[摘 要] 初中数学综合考核了学生基础知识的学习状况以及运用所学知识的能力，因此受到各级教育工作者的关注. 广大初中数学教师要从数学思想着手，总结教育教学过程，给学生教授有效的解题思路与解题方法.

[关键词] 圆；确定条件；初中数学；苏教版

教学分析

（一）教材分析

本节课程内容的主要目标就是帮助学生掌握确定圆的条件，让学生明白确定圆的条件是不在同一直线上的三点. 如果一个圆过定点，已知它的圆心，那么这个圆的半径也就是一定的，因此过一点作圆的实质就是确定圆心.

（二）学情分析

1. 在之前的学习中，同学们已经接触过了圆的相关概念，知道圆心和半径确定了，圆也就确定了. 除此之外，之前同学们还学习过线段垂直平分线的性质、判定以及画法，因此在学习圆的确认条件时，同学们是具备相应的知识基础的. 一方面，想要作一个圆，就需要确定圆心以及半径，但是很多情况下圆心的分布是没有规律可循的，学生在解决时可能会出现一定的困难；另一方面，确定圆心的方法是绘制已知两点所连线段的垂直平分线，通过垂直平分线的交点来确定圆心，在这个过程中部分学生可能无法建立圆与垂直平分线两者之间的关联.

2. 在遇到新的情境时，部分学生缺乏必要的思考，找不到解决问题的有效途径，无法进行有效的思考，缺乏合理猜想，依赖老师给的结论，在课堂活动中缺乏积极性，参与度不高，而不是积极主动地探究.

教学策略

（一）情境创设，引入教学内容

在教学过程中，首先需要通过具体的案例让学生对圆的确定条件有一个初步的认知. 教师以教材为基础，通过演绎案例来创设情境，引导学生进行思考与讨论. 通过这种教学活动，让学生对图形的变化有初步的认识，为之后的讲授奠定基础.

比如，教师可以通过多媒体展示一幅残缺齿轮的图片，询问学生怎样才能铸造一个和图片上同样大小的圆轮.

（二）引導学生主动思考，积极探究

在传统的数学教学模式下，教师教学的重点在于利用几何图形的既得结论，这虽然能满足应试需求，却无法让学生领悟几何内容的重要现实意义，很难理解其内涵. 要想改变这种局面，广大初中数学教师就需要引导学生，提高学生思考及探究的主动性，针对学生的能力水平提高其发现问题、分析问题、沟通交流、解决问题的能力.

（三）培养学生数形结合的思维

数形结合思想指的就是利用几何图形来处理代数问题，使得题目的数量关系更为直观地反映出来，将数字与图形巧妙地结合起来，在此基础上寻求解题思路，简化问题的解决过程.

（四）教学方式多样化

在新课标的要求下，教师需要科学合理地利用现代化的信息技术手段来辅助教学. 结合苏教版初中数学教材的特点，教师在设计课程时需要增加师生交流的比重，分层次、目标明确地开展教学活动，切实提高教学质量. 同时，圆的教学需要紧密结合生活实际，将复杂的几何学习转化为解决问题的有效工具，提升学生的学习兴趣，加深学生对这个知识点的理解和掌握，最终完成教学目标.

教学设计

（一）教学目标

1. 知识点

掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

2. 能力素养

（1）感受不共线的三个点确定圆的探索过程，培养学生的探索能力；

（2）通过探索不共线的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.

3. 情感

（1）形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；

（2）学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

（二）教学重难点

1. 教学重点

（1）感受不共线的三个点确定一个圆的探索过程，掌握这个结论；

（2）掌握不共线的三个点作圆的方法；

（3）了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

2. 教学难点

感受不共线的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不共线的三个点作圆.

（三）教学过程

1. 情境创设，引入新课

（教师）已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上将轮胎补充完整. 同学们有什么好的想法吗？

（学生）补充轮胎，实质就是画一个与原轮胎大小相同的圆，只要确定圆心和半径就好了.

（教师）在轮胎上很难直接确定圆心，半径也无法直接获得. 也就是说，解决了这两个问题，大家就能把轮胎补充完整了.

[设计意图]

从初中生的年龄特征、知识水平等现实情况出发，依托生活实际，有效吸引学生注意，激发学生的好奇心与学习兴趣，同时培养学生将生活中的问题抽象成数学问题的能力，让学生明白数学来源于生活.

2. 温故知新

（教师）同学们回顾一下之前我们是如何确定直线的？

（1）过一点可以作几条直线？

（2）过几点可确定一条直线？

引导学生思考：是否也可以利用点来确定圆？

（学生）过一点可以作无数条直线，过两个已知点可以确定一条直线.

[设计意图]

通过复习确定直线的条件，启发学生用类比的方法探索确定圆的条件.

3. 实践探究

（1）过已知点A，能作几个圆？

（2）过已知点A，B，能作几个圆？圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？

（3）过已知点A，B，C（A，B，C三点不在同一条直线上）如何作圆？能作出几个圆？

（老师）根据刚才我们的分析可知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并做出解答.

（学生）

（1）要经过一个点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来，所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆，这样的圆有无数个.

（2）已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径，因此圆心到A，B的距离相等. 由线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上. 在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A，B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了，这样的圆有无数个.

（3）要确定一个圆心，使它到A，B，C三点的距离相等. 因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心. 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆，作法如下：

[设计意图]

让学生绘制已知三点间任意两点组成直线的垂直平分线，体会圆心的确定过程. 让学生更为直观地感受到过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

4. 概念补充

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫作三角形的外心.

5. 教学反思

在本教学案例中，着重引导学生感受不在同一条直线上的三个点确定圆的探索过程以及用到的探索方法，在这个过程中也向学生讲解了三角形的外接圆、外心等概念. 在方法选择上，本案例并不是一味地灌输数学概念，而是采用引导式教学，让学生切身感受圆心的确定过程，在对比的过程中，学生也能准确区分已知条件为一个点、两个点、三个点等不同的情况.