双模Jordan KdV方程的多孤子解与精确解

赵露

(宁波大学数学系,浙江 宁波 315211)

1 引言

一般来说,大多数非线性方程都是关于时间t的一阶导数的方程,它们描述了单一方向的波.例如,KdV方程,Burgers方程等,这些模型均是沿x轴正向传播.Boussinesq方程是关于时间t的二阶导数的方程,它沿x轴正向和负向两个方向传播.然而,在1994年,文献[1]第一次提出了双模KdV(TKdV)方程,它是关于时间t的二阶导数的方程,描述了沿同一方向传播的两个不同的波的传播.这两个波具有相同的耗散关系,不同的像速,线性和非线性参数.双模KdV方程定义如下:

其中u(x,t)是场函数,ci(i=1,2)表示像速度,αi为非耗散系数,βi为耗散系数,且x,t,α,β满足

经过特殊的变换,方程(1)可以约化为:

其中

可以看出,当s=0时,TKdV方程(1)就约化为了标准形式的KdV方程.

文献[2-12]中给出了TKdV方程(2)的一些性质.其他的双模方程也已经被研究,例如双模mKdV方程[13],双模KP方程[14],双模Burgers方程[15]和双模耦合的KdV方程[16]等[17-20].本文将研究Jordan KdV(JKdV)方程组:

该方程组首次在文献[21]中提出.其中,当u=v=w时,JKdV方程组(4)可约化为标准的KdV方程.根据Korsunsky在文献[1]中提出的方法,构造新的双模Jordan KdV(TJKdV)方程组,即

当s=0时,TJKdV方程组(5)可以约化为JKdV方程组(4).

本文结构安排如下:第二节,利用简化的双线性方法[22-25],找到了TJKdV方程组(5)的多孤子解存在的条件.第三节,利用tanh/coth方法和tan/cot方法找到TJKdV方程组的其他精确解.

2 多孤子解

在本节中,将利用简化的双线性方法研究双模Jordan KdV(TJKdV)方程组的多孤子解.把方程组

代入方程组(5)中并比较线性项与非线性项,得到耗散关系

因此

利用cole-hopf变换

其中R1,R2,R3为待定常数.对于单孤子解我们令函数f(x,t)为:

把方程(9),(10)代入TJKdV方程组(5)并求解R1,R2,得到当

时,单孤子解存在.把(11)式与(10)式代入方程组(9),可得TJKdV方程组(5)的单孤子解如下:

对于二孤子解,令

把方程(9),(12)代入TJKdV方程组(5)并求解a12,可得当

时,二孤子解存在.利用同样的方法可以得到a23,a13的具体表达式,即

因此二孤子解为

为了得到三孤子解,令

其中θi(i=1,2,3)由(8)式决定,aij(1≤i

把方程(9)和方程(14)代入TJKdV方程组(5)并求解a123,得到

3 其它的精确解

经过第2节的讨论,我们知道孤子解存在只是针对特殊的α,β值,而对于一般的非耗散参数α与耗散参数β值,孤子解是否存在,我们并未讨论,并且这也是迄今为止未解决的问题.而在接下来的研究中,将会对一般的α和β的值来求TJKdV方程组的精确解.

3.1 tanh/coth方法

在本节中,我们将会利用tanh/coth方法来求TJKdV方程组的精确解.设

把(15)代入方程组(5),在所得方程中平衡非线性项与耗散项可得

则

3.1.1 βα

把方程组(16)代入TJKdV方程组(5)并比较所得方程中tanh(kx−ct)的各次幂的系数,得到

由 (17)式及 (16),得解

若设

与tanh(kx−ct)方法的步骤相似,可求得奇异解

3.1.2 β=α

把方程组(16)代入TJKdV方程组(5)并令β=α,在所得方程中比较tanh(kx−ct)的各次幂的系数,可以得到

这里的a0,b0,b1为非零常数,由(21)及(16)式,得解

其中c由(21)式决定.

若设

与tanh(kx−ct)方法的步骤相似,可求得奇异解

其中a0,b0,b1为非零常数,c由(21)式决定.

3.2 tan/cot方法

在本节中,利用tan/cot方法来求TJKdV方程组的精确解.设

把(25)式代入方程组(5),在所得方程中平衡非线性项与耗散项可得

则

下面分两种情况讨论.

3.2.1 βα

把方程组(26)代入TJKdV方程组(5)并比较所得方程中tan(kx−ct)的各次幂的系数,得到

由 (27)及 (26)式,得解

其中a0,a1,c1为非零常数,c满足(28)式.

若设

与tan(kx−ct)方法的步骤相似,可求得奇异解

其中a0,a1,c1为非零常数,c满足(28)式.

3.2.2 β=α

把方程组(26)代入TJKdV方程组(5)并令β=α,在所得方程中比较tan(kx−ct)的各次幂的系数,可以得到

这里的a0,b1,b2为非零常数,因此可得解

其中a0,b0,b1为非零常数,c满足(31)式.

若设

与tan(kx−ct)方法的步骤相似,可求得奇异解

其中a0,b0,b1为非零常数,c满足(31)式.

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