基于一阶及二阶DIC方法的 常应变剪切带的测量误差分析

杜亚志， 王学滨,2， 董 伟， 冯威武， 侯文腾

(1. 辽宁工程技术大学 力学与工程学院， 辽宁 阜新 123000； 2. 辽宁工程技术大学 计算力学研究所， 辽宁 阜新 123000)

1 引 言

目前，CT技术、立体成像技术、数字图像相关(digital image correlation, DIC)方法[1～5]等先进的观测手段均被用于测量剪切带内外微结构特征、研究剪切带的发展演化等。

文献[6]针对DIC方法中图像的亚像素插值误差较大的问题，提出了一种基于B样条插值核的插值滤波器;文献[7]通过对散斑图进行平移，比较了梯度法、曲面拟合法及N-R(Newton-Raphson)法的精度;文献[8]提出了一种散斑图质量评价参数——平均灰度梯度;根据文献[8]提出的参数，文献[9]提出了一种散斑图质量评价参数——平均一阶及二阶灰度梯度商;文献[4]使用整像素精度的DIC方法测量了水平常应变剪切带的宽度;文献[5]根据梯度塑性理论制作了含应变梯度的水平剪切带，比较了一阶及二阶DIC方法的位移场、应变场及应变梯度场的测量结果的差异。

为了解基于DIC法的剪切带的测量精度，本文制作了简单剪切条件下水平(倾角为0°)和倾斜(倾角为60°)常应变剪切带，并使用DIC法对剪切带内、外的位移场、应变场和宽度进行了测量；分析了形函数、子区尺寸及测点间距对测量结果的影响。

2 剪切带的制作方法

常见的剪切带模型为简单剪切模型，在该模型中，剪切带内的变形是简单剪切，剪切带外仅有刚体位移。在水平常应变剪切带中，剪切位移为水平位移，若以剪切带中心线上任意点为原点建立直角坐标系x′O′y′,x′和y′分别为剪切带的切向和法向，则有剪切带水平位移计算公式：

s(y′)=γ0y′

(1)

式中：γ0为上述水平剪切带的剪应变；y′为剪切带的法向坐标，y′∈[-w/2,w/2]，w为剪切带宽度。

在该模型中，剪切带的倾角θ为零，而在通常情况下剪切带是倾斜的。文献[2]中仅简单提及了倾斜剪切带的制作方法，即“首先，将一张实验图片旋转60°；然后，在一定位置进行常应变简单剪切；最后，再将图像反向旋转60°，得到包含倾斜剪切带(倾角为60°)的图像”。这里采用简单剪切模型及文献[2]提出的制作方法制作。具体步骤如下：

(1)定义剪切带边界。理论上，剪切位移是剪切带法向坐标的连续函数，而在剪切带制作过程中，仅对图像中离散的像素进行操作。图1给出了垂直于剪切带的一列像素、剪切带边界的位置及该列像素位移的示意图。在图1中,像素用小正方形表示，像素的中心点用圆点表示，剪切带边界用两条平行线段表示;图1(a)为剪切带边界在两个相邻像素之间；图1(b)为剪切带边界在像素的中心。于是产生了在位移曲线中剪切带宽度的定义不同，宽度分别为w1和w2。在图1(b)中，剪切带内靠近边界的点的位移等于最大剪切位移，据此制作剪切带，有利于与有关的理论结果作对比。

(2)对剪切带外上下两盘进行刚体平移，平移量为γ0w2。

(3)使用仿射变换方法对图像进行变形，使用光滑性较好的双三次样条函数对图像进行插值。

图1 剪切带的两种边界的定义

图2给出了源图像及含剪切带的图像。图2(a)为一幅散斑图[10]，据此制作了水平剪切带(图2(b))和倾斜剪切带(图2(c))，其中，γ0=-0.1745，w=30像素，θ=60°。

图2 源图像及含剪切带的图像

3 结果分析

在图像坐标系xOy下，从图2(a)变形至图2(b)，根据式(1)可计算出最大水平位移为2.62像素，垂直位移、水平线应变εx及垂直线应变εy的理论值均为零，剪应变的理论值γxy=γ0=-0.174 5。 使用基于粒子群优化算法及N-R迭代的粗-细DIC方法[3]分别对从图2(a)变形至图2(b)、从图2(a)变形至图2(c)的位移和应变进行了计算，计算区域如图2(a)所示(水平剪切带，使用计算区域1；倾斜剪切带，使用计算区域2)。

3.1 水平剪切带的结果分析

3.1.1 一阶DIC方法的结果分析

图3给出了基于一阶DIC方法的从图2(a)变形至图2(b)的结果，其中两条虚线代表剪切带的边界。子区尺寸为31像素×31像素(简称为31像素)，测点数量为23×19，测点间距为5像素。

图3 一阶DIC方法的水平剪切带的位移场、应变场及相关系数

从图3(a)和3(b)中可以发现:图像上、下两部分的位移矢量场有较大差别,上部分位移向左，下部分位移向右，且两部分位移的大小基本相等，这与带外区域平动相符；在上、下两部分之间，存在一个明显的位移梯度带，带内的水平位移在法向变化较大，这与剪切带的位置(图3(b)中的两条平行线段之间的区域)对应。该位移梯度带的宽度稍大于剪切带宽度，这表明，在剪切带边界附近，位移场存在一定的误差。

从图3(c)中可以发现:在远离剪切带及剪切带中心线附近的区域，垂直位移均在零附近，这与理论值接近；在剪切带边界附近，垂直位移在-0.15和0.2像素之间随机变化，表明在剪切带边界垂直位移的误差限较大。

从图3(d)和3(e)中可以发现:在远离剪切带及剪切带中心线附近的区域，两种线应变在零附近；

在剪切带边界附近，两种线应变在-0.02～0.02之间随机变化。从图3(f)中发现:在剪切带内，γxy在-0.16～-0.08之间，大于理论值-0.174 5；在剪切带边界附近，γxy在-0.08～0之间，表明γxy存在一定的误差。

从图3(g)中可以发现:在远离剪切带及剪切带中心线附近的区域，相关系数均大于0.999，表明位移误差限较小；在剪切带边界附近，相关系数在0.993～0.999之间，表明位移误差限较大。

3.1.2 形函数对位移和应变的影响

为了减小随机误差的影响，对图3中相同y坐标的19个点的位移和应变求均值。图4为不同DIC方法的位移和应变。

图4 不同DIC方法的位移及应变

从图4(a)中可以发现:当测点远离剪切带(y>225像素或y<160像素)时，两种DIC方法的水平位移均等于理论值；在剪切带内及附近(y=160～225像素)，两种DIC方法的水平位移均有一定的误差;在剪切带中心，位移误差均基本为零；从剪切带中心到剪切带边界，位移误差限逐渐增大，且一阶DIC方法比二阶DIC方法的水平位移误差限大;从剪切带边界到远离剪切带的测点，一阶DIC方法的水平位移误差限逐渐减小，趋于零，最大误差限约为0.6像素,而二阶DIC方法的水平位移最大误差限约为0.3像素。整体上，在剪切带内及附近，二阶DIC方法比一阶DIC方法的位移误差限小。从图4(a)、4(b)中可以发现:与水平位移误差限相比，垂直位移误差限较小;图4(b)中一阶DIC方法及二阶DIC方法的垂直位移的范围分别为-0.05～0.21像素和-0.05～0.05像素,这也表明，在剪切带内及附近，二阶DIC方法比一阶DIC方法的位移误差限小。

由图4(c)可以发现:在剪切带内，两种DIC方法的剪应变均是变化的，在剪切带中心剪应变最小,一阶DIC方法的剪应变均大于理论值，而二阶DIC方法的剪应变小于理论值;在剪切带边界，两种DIC方法的剪应变基本相等，约为理论值的一半;从剪切带边界至带外约20像素范围内，一阶DIC方法的剪应变逐渐增加，均小于零(理论值),而二阶DIC方法的剪应变较为复杂。

3.1.3 子区尺寸对位移和应变的影响

图5给出了从图2(a)变形至图2(b)的剪切带的位移和应变的分布规律，子区尺寸分别为21、41和61像素，其余计算参数同图3。与图4类似，已对相同y坐标的19个点的位移和应变求平均。

从图5(a)、5(b)中可以发现:随着子区尺寸的增加，剪切带内及附近区域(y=150～230像素)的绝大部分测点的位移误差限逐渐增加;当子区尺寸不同时，位移及位移误差均中心对称，对称中心为剪切带中心(y=192像素)。下面以剪切带中心上部(y<192像素)为例进行分析。剪切带中心附近测点的位移误差基本为零;当测点逐渐远离剪切带中心时，位移误差先增加，后减小，最后趋于零。在剪切带边界(y=177像素)，位移误差达到峰值；在位移误差峰值附近(y=147～192像素)，位移误差基本对称分布。对这种现象进行解释如下：

图5 子区尺寸对位移和剪应变的影响

对于子区中心点在剪切带边界附近的情况，无论其位于剪切带内或带外，一阶DIC方法中的变形均匀性假设不适用，因此位移误差限较大。当子区中心点在剪切带外时，子区覆盖的一部分剪切带区域是干扰区域;同样，当子区中心点在剪切带内时，子区覆盖的一部分剪切带外区域是干扰区域。当上述子区的中心点与剪切带边界的距离相等时，子区中干扰区域尺寸占子区尺寸的比例相等，此时，位移误差相等(图5(b))。当子区中心点在剪切带边界处时，该比例达到最大值0.5，此时位移误差达到最大值或最小值。因此可以推测，位移误差与干扰区域的尺寸占子区尺寸的比例有关。对于剪切带中心附近的子区，当其仅包含带内区域时，满足变形均匀性假设，因此位移误差限较小；随着子区尺寸的增加，当子区超出剪切带时，子区覆盖的两块剪切带外区域是干扰区域。剪切带中心附近测点的位移误差限较小，这可能与干扰区域对计算结果的影响较小有关。

从图5(d)、5(e)可以发现:对于二阶DIC方法的结果，随着子区尺寸的增加，剪切带内及附近(y=147～237像素)测点的位移误差限基本上逐渐增大。从图5(b)、5(e)可以发现:当子区尺寸相同时，对于剪切带内及其附近测点的位移，二阶DIC方法的位移误差限通常比一阶DIC方法的小，这是由于二阶DIC方法中，子区的变形可以是不均匀的。

从图5(c)、(f)可以发现:在剪切带中心，随着子区尺寸的增加，一阶及二阶DIC方法的剪应变的误差基本上逐渐增加；在子区尺寸相同时，二阶DIC方法的剪应变误差比一阶DIC方法的小。

3.1.4 测点间距对应变的影响

图6给出了测点间距分别为2、5及10像素时一阶及二阶DIC方法的剪应变。随着测点间距的增加，在远离剪切带的区域(y=135～150像素、235～250像素)，剪应变接近理论值；在剪切带内，剪应变-坐标曲线由陡峭变得平缓。在剪切带内及附近，随着测点间距的增加，一阶DIC方法和二阶DIC方法的剪应变有所不同：一阶DIC方法的剪应变逐渐偏离理论值；在剪切带边界外各5像素，二阶DIC方法的剪应变的误差随着测点间距的增加而减小；在剪切带中心附近(y=187～197像素)，二阶DIC方法的剪应变的误差由负值变为正值。

当测点间距分别为2、5及10像素时，一阶DIC方法的剪切带宽度分别为70、75及90像素，为理论值的2.3～3倍；二阶DIC方法的剪切带宽度均为70像素，为理论值的2.3倍。两种DIC方法的剪切带宽度均大于理论值，这可解释如下：在采用中心差分方法时，一点的应变是根据周围多个测点的位移得到的，剪切带外测点的应变可能被高估，由此导致剪切带宽度被高估。

图6 测点间距对剪应变的影响

3.2 倾斜剪切带的结果分析

图7给出了二阶DIC方法的从图2(a)变形至图2(c)(包含倾斜剪切带)的位移矢量场、水平位移、垂直位移、εx、εy、γxy及相关系数的等值线图，其中，两条虚线代表剪切带的两个边界。样本子区尺寸=31像素×31像素，测点数量为63×19，测点间距为5像素。可以发现：(1)在远离剪切带的位置，测点的位移比较均匀，应变基本为零，相关系数较大(大于0.999 8)，表明这部分测量结果比较准确；(2)在剪切带内及附近，应变比较集中，应变局部化带的宽度的计算值均大于剪切带宽度的理论值,相关系数的范围为0.998 6～0.999 8，略小于远离剪切带处的值。

图7 二阶DIC方法的倾斜剪切带的位移场及应变场

由图3和图7可以发现，针对水平和倾斜剪切带的各种计算结果类似，不再赘述。

4 结 论

为了了解基于DIC法的剪切带的测量精度，本文制作了水平和倾斜的常应变剪切带，并使用DIC法对剪切带内、外的位移场和应变场进行了计算，得到以下结论：

(1)在剪切带边界附近，一阶或二阶DIC方法的位移误差限较大，这是因为这些区域的变形不均匀，子区覆盖一部分剪切带。子区尺寸越大，或测点距离剪切带边界越近，位移误差限越大。一般地，对剪切带边界附近测点进行计算时，二阶DIC方法的位移误差限比一阶DIC方法的小，这应与在二阶DIC方法中允许子区的变形是不均匀的有关。

(2)随着测点间距的增加，一阶或二阶DIC方法的剪切带法向的剪应变-坐标曲线由陡峭变得平缓，剪切带宽度逐渐增加。

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