基于拉格朗日抛物线插值的 毛细管粘度仪液位检测方法

温冠华, 滕召胜, 林海军, 唐 求, 任 建

( 1. 湖南大学 电气与信息工程学院, 湖南 长沙 410082; 2. 湖南师范大学 工学院, 湖南 长沙 410081)

1 引 言

近年来,液体粘度测量的应用领域日益广泛。毛细管粘度仪凭借原理简单、测量精度高等特点成为最常用的粘度测量仪器[1]。毛细管粘度仪基于相对测量原理,通过测量液体在重力作用下流经计时起点刻度线和计时终点刻度线的时间差来确定液体粘度[2]。因此,在使用毛细管粘度仪进行粘度测量时液位检测起着关键作用,其检测精度、速度对粘度测量结果具有重要影响[3]。早期的毛细管粘度仪测量过程中由操作人员肉眼观察、判断液面,确定计时起点与终点[4],过程繁琐,误差大。现有自动粘度仪多采用光敏元件进行液位检测[5～8],凹形液面易对采样时刻的确定造成误差。为此,文献[4]提出一种基于最小二乘拟合的自适应液位检测方法,一定程度上克服了凹形液面及采样间隔对测量结果的影响,但计算量较大,实时性受限,且当采样间隔不同时,获得的计时点差异较大。

本文提出一种基于拉格朗日抛物线插值的液位检测方法,对采样得到的液位检测电压信号进行一阶差分处理,搜索一阶差分最小的采样时刻,选取该采样时刻与其前后两个采样时刻的电压一阶差分值作为插值点进行插值,并将插值多项式对时间求导确定液位检测的计时点,有效克服凹形液面和采样间隔对液位检测结果的影响,减少计算量,提高毛细管粘度仪液位检测的准确性与实时性。

2 毛细管粘度仪液位检测原理

毛细管粘度仪的结构如图1所示。图1中m1、m2分别为计时起点刻度线和计时终点刻度线;F1、F2为2组对射式光纤传感器,分别安装在计时起点刻度线和计时终点刻度线位置,用于液位检测[9]。

图1 毛细管粘度仪结构图

粘度测量过程中,F1检测到液位降至m1位置时记录时间ts;F2检测到液位降至m2位置时记录时间te。若仪器常数为C,则测得的液体运动粘度ν为:

ν=C(te-ts)

(1)

由式(1)可见,ν的准确度由ts和te的准确度决定,液位检测时计时点的确定是确保粘度测量准确度的关键。

被测液体在下降过程中受到吸附力和表面张力的作用,会在粘度仪测量管内呈凹形液面。当液位分别下降至m1和m2位置时,对应位置的光纤传感器发射探头发射的红外光绝大部分被液面反射和折射,仅少部分被接收探头接收,此时液位检测电压明显变小直至趋于稳定,该信号经调理放大和A/D转换后输入MCU分析处理,获得计时时刻。凹形液面具有一定的深度,底端和顶端分别到达刻度线位置有一定的时间差,由此会产生固定的引入误差。为减小这种误差,提高计时点的检测准确度,对m1和m2处计时点的选取需具一致性。

3 基于插值的液位检测方法

为克服凹形液面对计时点选取的影响,计时起点和终点均选取液位检测信号衰减最快的时刻,并采用插值方法克服采样间隔引起的计时误差。

3.1 液位数据预处理

(2)

式中:ui为滤波后第i个采样时刻的液位检测电压。

3.2 插值点判定

对预处理后的液位检测信号进行一阶差分处理,差分曲线如图2所示。图2中一阶差分曲线存在最小值,即存在液位检测信号衰减最快的时刻。

图2 液位检测信号的一阶差分曲线

由于采样间隔的存在,采用一阶差分值最小的采样时刻作为计时点存在一个最大为采样间隔时间的计时误差。权衡考虑插值精度与运算代价,本文采用拉格朗日抛物线插值方法确定计时点[10,11]。依据插值点附近具有较高插值精度的特点,选取一阶差分最小的采样时刻及其前后两个时刻的差分值为插值点。对液位检测信号进行一阶差分处理:

Δui=ui-ui-1

(3)

式中:Δui为第i个采样时刻的液位检测信号的一阶差分;ui为第i个采样时刻的液位检测信号;ui-1为第i-1个采样时刻的液位检测信号。

采用改进的3σ准则判定一阶差分最小采样时刻。传统的3σ准则对每个时刻的判定过程中均需进行一次均值计算和标准偏差计算。当采样时刻较多时,判定过程计算量大。为简化判定过程,在确保判定结果可靠度的前提下对3σ准则做出如下改进:

1) 将初始q+2p个采样时刻的液位检测信号一阶差分Δu0,Δu1,…,Δuq+2p-1进行排序,去掉首位各p个值,得到新序列Δw0,Δw1,…,Δwq-1;

2) 计算新序列的平均值v和标准偏差σ,用于后续所有判定过程,无需重新计算平均值和标准偏差,减少计算量。计算公式如下:

(4)

3) 当前采样时刻的液位检测信号一阶差分Δui代入式(5)进行判定,若满足式(5)则认为当前时刻满足一阶差分最小采样时刻的一个条件。

|Δui-v|>3σ

(5)

为确定当前时刻是否为一阶差分最小采样时刻,还需对后续M个时刻的液位检测信号的一阶差分进行分析。满足式(6)时,当前采样时刻为一阶差分最小采样时刻,该时刻与其前后2个时刻的差分值即为插值点。

(6)

3.3 基于插值方法的计时点确定

若一阶差分最小采样点及其前后采样点坐标分别为(t1,Δu1),(t0,Δu0)和(t2,Δu2),则经过这3个点的拉格朗日抛物线插值曲线如图3所示。

图3 拉格朗日插值抛物线

求解上述拉格朗日抛物线插值多项式为:

(7)

式中：Δu(t)为t时刻的液位检测信号的一阶差分。设定采样间隔为Δt,其二次项系数a化简得:

(8)

而Δu0、Δu1、Δu2满足:

(9)

所以有:

a>0

(10)

因此上述拉格朗日抛物线开口向上,存在最小值,对时间t求导得:

(11)

式(11)导数为零时,一阶差分最小,此时t为克服了采样间隔的计时点。求解t并化简得:

(12)

4 2种算法计算量对比

文献[4]提出的基于最小二乘线性拟合的自适应液位检测方法是近年来应用比较广泛的毛细管粘度仪液位检测方法。将本文方法与文献[4]方法的计算量进行分析比较。

4.1 文献[4]的计算量

1) 拟合起点确定过程中,计算量主要集中在使用罗曼诺夫斯基准则进行粗大误差判定的过程。若均值滤波窗口长度为L1,则每判定一个点,计算量近似为L1次乘法运算和2L1次加法运算。若进行N1次判定之后确定拟合起点则计算量约为N1L1次乘法运算和2N1L1次加法运算。

2) 线性拟合过程中,拟合点数为N2时,计算量近似为2N2次乘法运算和5N2次加法运算。为确定计时点还需获得非计时刻度线区域的液位检测电压,采用窗口长度为L2滑动均值滤波,计算量约为L2次加法。

故基于最小二乘线性拟合的方法总的计算量为Cf*次乘法运算和Cf+次加法运算。

(13)

4.2 本文算法的计算量

1) 最佳插值点的判定过程中,计算量主要集中改进的3σ准则判定过程,均值v和标准偏差σ的计算量为常数,当判定的点较多时可忽略。判定过程的比较运算可视为加法运算,若进行N3次判定之后确定插值点则计算量近似为2N3次加法运算。

2) 计时点求解的过程中,由式(12)计算计时点,仅需进行4次乘法运算和4次加法运算。

故本文基于拉格朗日插值方法总的计算量为Ci*次乘法运算和Ci+次加法运算。

可见,采样点数较多时,本文方法计算量明显小于文献[4]的计算量,运算代价低,实时性好。

5 实验分析

本文采用意法半导体的STM32F407VGT6作为信息处理核心,对射式光纤传感器(光纤放大器FS-N11MN+光纤探头FU-59U)作为液位检测元件构建液位检测实验平台。为验证本文液位检测方法的优越性,采用检定合格的1834型乌氏粘度计管(内径1.03 mm,仪器常数0.101 8 mm2/s2),置于25±0.1 ℃恒温水浴,对蜂蜜、食用调和油、柴油、等多种试样进行了液位检测实验和粘度测量实验。

为研究2种方法受采样间隔的影响程度,分别设置采样间隔为0.1 s,0.2 s及0.3 s进行比对,每个采样时段采样200个液位数据。对采样数据进行预处理后。分别使用基于最小二乘线性拟合方法(取滑动均值滤波窗口长度L1=10,L2=10;罗曼诺夫斯基检验系数为2.62;拟合数据点数N2=8)和本文方法(取比较个数M=4)获取计时点。实验结果如表1所示。

表1 2种方法在不同采样间隔时间下的计时点比较 s

表1表明,当采样间隔时间不同时,基于最小二乘线性拟合的方法确定的计时点差异较大;本文方法在不同的采样间隔时间下确定的计时点较为稳定。本文方法的检测结果稳定性明显优于基于最小二乘线性拟合方法。

在同一实验条件下,使用两种方法对上述试样进行粘度测定实验(检测计时起点时间ts和到计时终点时间te,并代入式(1)计算试样的运动粘度ν)。表2、表3分别为食用调和油、百花蜂蜜水的粘度测量实验数据。表2、表3中重复性定义为同组两次实验数据之差与平均值的比值。可见,本文方法运动粘度测量的重复性优于0.1%,满足国标GB10247-88规定的优于0.35%的要求,标准差小于基于最小二乘线性拟合方法粘度测量的标准差。

表2 食用调和油运动粘度测量数据比较

表3 百花蜂蜜水运动粘度测量数据比较

6 结 论

提出了一种基于拉格朗日抛物线插值的毛细管粘度仪液位检测方法,使用光纤传感器作为液位检测元件,对液位检测信号进行差分处理,选取插值点进行拉格朗日抛物线插值,并将插值多项式对时间t求导,获得液位检测计时点。与现有基于最小二乘线性拟合方法对比,计算量小,实时性好。液位检测实验表明本文方法受采样间隔时间影响小,稳定性好;粘度测定实验表明本文方法的粘度测定结果重复性小于0.1%,优于国标0.35%的要求。本文方法同样适合其他类型液体的液位检测。

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