基于椭圆形Monge-Ampére方程的杂散光检测系统光源特性的研究

张璐璐，赵崎策，徐熙平

（长春理工大学 光电工程学院，长春 130022）

随着探测器的不断发展和改进，其光学系统的精度要求也不断增高，因此杂散光对于光学系统的影响也越来越大［1-3］。高光谱成像系统实验中利用PST检测法对光学系统进行杂散光测试［4-5］。本实验选择激光光源作为实验测试光源是因为其亮度高、色彩好、能耗低、寿命长且体积小的特点，能够提高实验的精度和准确性［6］。对于光学系统杂散光检测的研究开始的相对较早，已有的研究方法是利用离轴三返平行光管来获得平行光束［7-9］，但是平行光管是基于成像光学方法设计的，得到的光斑质量较差。对于照明系统而言，非成像设计方法更能够得到较高质量的平行光束，尤其是自由曲面照明设计方法［10］。

本文通过利用自由曲面透镜代替离轴三返平行光管来获得均匀性、稳定性、准直性较好的平行光束的方法［11-12］，提高高光谱成像系统杂散光检测的数量级，降低高光谱成像系统的杂散光系数，通过调整自由曲面透镜的参数，满足不同光谱的光源测试条件，从而提高整个实验的精度，降低光学系统在实验过程中的杂散光系数［13］。

1 基本原理

高光谱成像系统PST测试实验包括测试前的光束性能测试和杂散光检测两部分，其中被测光束照射到双柱罐之前应该满足稳定性S＜=5%，均匀性U＜2%，和一定的准直性。已有的实验采用的是平行光管来得到平行光束。本文为了提高光束性能，更好的满足实验测试条件，且避免平行光管的大体积和作用单一的缺点，选取自由曲面来对激光光源的出射光进行改善。

当被测光源为结构紧凑的点光源时，采用基于点光源的自由曲面设计方法可以获得较好性能的光源。

图1 点光源光线追迹图

如图1所示，采用自由曲面透镜来改善实验光源的特性。透镜的入射面为球面，出射面为自由曲面，点光源S位于入射球面的球心位置，实验过程中由光源发出的光经过球面入射到自由曲面上点P的位置，经自由曲面偏折后其出射光线到达目标面上点T的位置，在球坐标系下点P的坐标可表示为P(θ,φ,P(θ,φ))，通过球坐标运算可得到点P的位置矢量为：

其中，角度φ是入射光线与z轴的夹角，角度θ为入射光线在xoy平面内的投影与x轴的夹角，如图1所示，根据微分几何运算可得曲面在点P处的单位法矢N为：

其中，Pφ和Pθ分别为矢量P关于φ和θ的偏导数。入射光线的单位矢量I、出射光线的单位矢量O以及曲面单位矢量N三者满足：

其中，角度α是I和N的夹角；ni和no分别为透镜材料的折射率和透镜周围介质的折射率，对周围介质为空气的自由曲面反射器设计no=-1及ni=1。进而可求出点T的坐标：

其中，（Px,Py,Pz）为矢量P的三个分量，（Ix,Iy,Iz）为矢量I的三个分量，（Nx,Ny,Nz）为矢量N的三个分量；z=L，L为光源到目标面之间的照明距离。将该式简写成以下形式：

由此可得到x、y和θ、φ之间的坐标变换关系：

其中，T为目标面上点T的位置矢量，J(T)为矢量T的Jacobian矩阵，且

在不考虑量损失的情况下，根据能量守恒定律，要求透镜入射面所接收的能量与照明区域所接收到的能量相等，即满足：

其中，E(x,y)为目标照明区域的照度分布，I(θ,φ)为光源的出射光强，R为目标照明区域，Ω为透镜入射面接收到的光线所定义的立体角。将公式（6）带入公式（7）得：

去掉积分号得到：

化简整理后得到椭圆形Monge-Ampére方程：

其中，系数Ai=Ai（θ,φ,ρ,ρθ,ρφ）（i=1，…，5），ρθθ和ρϕϕ和ρθρ分别是ρ关于θ和φ的二阶偏导数和混合偏导数。公式（10）描述了自由曲面对点光源出光进行偏折时光能重新分配过程。为保证目标照明的形状，还需施加一定的边界条件：

其中，∂Ω和∂R分别为空间Ω和R的边界。这是一个非线性边界条件，该条件要求边界∂Ω上的光线经自由曲面偏折后入射到边界上∂R，然而并没有给定光线在边界偏R上落点的具体位置，进而保证了较高的设计自由度。由此得到点光源自由曲面照明设计对应的数学模型：

至此，本小节从折射定律和能量守恒定律出发，建立了点光源自由曲面照明的数学模型，通过该模型的建立和应用进而改善光源特性。

2 软件仿真

本实验利用自由曲面透镜代替平行光管来获得平行光束，利用光线追迹软件Tracepro对光线分布进行仿真，得到三种情况下的仿真光斑分布图，如图2所示。

图2（a）所示为正常情况下模拟光斑的辐照度分布图，从光斑的分布可以看出，利用椭圆形Monge-Ampére方程的方法设计的自由曲面透镜的出光分布均匀性较高，达到85.3%，且能量的分布较为平均，光斑的形状轮廓较为明显；由于在实际操作过程中光源位置和透镜的位置均具有安装误差，因此还仿真了光源位置偏离3mm的情况，如图2（b）所示。从图中可以看出该光斑的分布均匀性较差，且能量较为集中在中间区域，说明光源的位置误差对于光斑能量分布的影响较大；图2（c）是透镜角度偏离2°情况下的仿真光斑辐照度分布图，可以看出由于透镜角度的偏离导致光斑的能量分布呈现出一侧强一侧弱的趋势，这对于PST检测系统的后续操作将产生较大的影响。因此，在实际操作的过程中，需要注意光源的位置与透镜的角度这两个因素的把控。

图2 模拟光斑辐照度分布图

3 实验分析

对于PST测试系统的光束性能测试分为均匀性、准直性和稳定性三部分。

本文根据实验要求搭建了可见与近红外光学系统PST测试实验平台，PST测试结构原理图如图3所示。

图3 PST测试系统原理图

PST测试系统主要由光源组、斩波器、锁相放大器、光电倍增管、平行光管、光探测器、光功率计、双柱罐、转台等部件组成。本文用自由曲面透镜代替系统中的平行光管，通过实验测试和分析来提高光束性能。

3.1 光束均匀性测试

首先对通过自由曲面的光斑均匀性进行测试。在光斑出射位置放置二维位移台，将光功率计固定在二维位移台上。使光功率计在出射光斑上走S型，每10mm采集一次数据。表1为实验记录采集到的光功率数据。

表1 光源均匀性实验测试数据表

由表1得出测试结果中最大值和最小值，分别将最大值和最小值分别代入均匀性计算公式：

根据实验设计要求，计算结果U=1.461%＜2%，则认为光束均匀性满足实验要求。

3.2 光束准直性测试

在光学系统PST测试实验中，主要的杂光光源是太阳光，太阳与光学系统的距离可以认为是无穷远，因此太阳光可以认为是平行光。本文光源透过自由曲面透镜的出射光斑是模拟太阳光。采用“五棱镜法”对出射光的准直性进行测试。原理如图4所示。

图4 准直性测试光路图

为保证光源经自由曲面出射后发散角小于1″，实验中选择CCD像元尺寸大于4.12×105dCCDmm，实验得出发散角为0.7″，满足实验精度的要求。

3.3 光束稳定性测试

开启光源并使其工作在稳定的状态，光功率计固定在出射光斑的某一点出，每隔10min测试一次该点的光功率，连续测试100min，取测试结果的最大值和最小值。

实验中光源稳定性计算公式如下：

根据表2中的实验数据，计算得到S=0.847≤5%，则平行光束的稳定性满足实验要求。

表2 光源稳定性实验测试数据表

4 结论

本文利用解椭圆形Monge-Ampére方程的方法设计了自由曲面光学透镜，并应用于PST检测系统中以替代平行光管的出光分布，从仿真结果可以看出，以自由曲面透镜所得到的准直光线光斑的分布较为均匀，且光斑轮廓明显，较传统平行光管的出光性能有了一定的提升。为了验证所提出方法的正确性，分别设计了光束均匀性、光束准直性和光束稳定性实验，实验结果表明解椭圆形Monge-Ampére方程的方法设计的自由曲面光学透镜能够满足PST检测系统的相关要求，并提升了系统的照明性能。

［1］陆强.地球同步轨道空间相机杂散光分析与应用技术的研究［D］.上海：中国科学院研究生院上海技术物理研究所，2016.

［2］邓超.空间太阳望远镜消杂散光分析［J］.红外与激光工程，2010，39（04）：715-720.

［3］孙可，江厚满，程湘爱.R-C系统中由表面散射引起的视场内杂散光分布［J］.国防科技大学学报，2012，34（01）：13-18.

［4］杨林，李达，崔天刚，等.空间太阳望远镜在紫外波段成像检测中的杂散光测量和消除［J］.光学精密工程，2011，19（07）：1456-1463.

［5］杨晋，尹禄，姚雪峰，等.新型便携式中阶梯光栅光谱仪光学设计与消杂散光研究［J］.光学学报，2015，35（08）：129-136.

［6］朱浩然，王凌云，张文颖.基于STM32的静态多星模拟器数字光源控制系统设计［J］.长春理工大学学报：自然科学版，2014 ，37（04）：64-67.

［7］徐亮，高立民，赵建科，等.基于点源透过率测试系统的杂散光标定［J］.光学精密工程，2016，24（07）：1607-1614.

［8］李朝辉，赵建科，徐亮，等.点源透过率测试系统精度标定与分析［J］.物理学报，2016，65（11）：150-156.

［9］舒星星，刘卫林.可见光光学系统杂散光抑制［J］.激光与光电子学进展，2014，51（12）：113-117.

［10］Tai W，Schwarte R.Design of aspherical lens to generate a homogenous irradiance for three-dimensional sensors with a light-emitting diode source［J］.Appl.Opt，2000，39（31），5801-5805.

［11］Grochocki F，Fleming J.Stray Light Testing of the OLI Telescope［C］.SPIE，2010.

［12］RiesH，Muschaweck J.Tailoredfreeform optical surfaces［J］.Opt.Soc.Am.A，2002（19）：590-595.

［13］吴仍茂，屠大维，黄志华.一种实现大功率LED均匀照明的投射器设计［J］.应用光学，2009，30（03）：372-376.