利用EXCEL工具求水中鱼的虚像的准确位置

唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中学,江苏 南京 210003; 2. 南京晓庄学院电子工程学院,江苏 南京 211171)

1 引言

水中鱼的虚像的具体位置问题,一直以来是初中物理教师授课难点之一.作为教师,仅仅了解虚像比实物浅是远远不够的,而更详细的描述在各版本教科书中均未给出,造成很多教师对这一问题的认知不够清晰,甚至部分教师会有错误的理解.针对这一问题,已有许多文献进行了探究.文献[1]用几何方法证明了像在物体的右上方(以下所述均按人在物体右侧观察为基准);文献[2]用平面几何加微分计算的方法得出同样的结论;文献[3]利用实验证明了像的位置,并进一步发现观察者若向右移动,虚像上升的同时也向右移动;文献[4]用office软件制图得到了和文献[3]相同的定性结论.

笔者认为文献[1，2]应用的平面几何和微分证明方法诚然巧妙精炼,但所需数学技巧较高,推理过程不易为广大中学物理教师所理解;而文献[3，4]在通过光路实验或office软件描绘像点时,则又因两条成像光线角度差选得过大,使得像点位置不准确.

本文首先采用解析几何方法计算出鱼的虚像点位置坐标的初步表达式,接着利用EXCEL强大的数据处理能力,精确计算出多组两条折射角相差极小的折射光线的反向延长线交点即虚像的精确位置;最后通过几何画板作图使水中鱼的虚像位置完整且直观地呈现在眼前.本方法虽然计算量较大,但思路简单且易于理解和掌握,研究过程具有一定的启发和借鉴意义.同时,本文也有助于广大师生加深对于水中鱼的虚像问题的全面认知.

2 用解析几何方法求解水中鱼的虚像坐标的初步表达式

具体探究过程如下.

图1 光的折射示意图

如图1所示,设光源(即鱼)为点S,其深度为h;F为光从水中进入空气的折射点;入射角为θ,折射角为α,则可得F点坐标为(htanθ,0),折射光线l的函数为

y=cotα(x-htanθ).

(1)

又已知水(20℃时)的折射率n=1.333,由折射定律知

进而得到

代入(1)式可得

由上式,设由光源S发出的两条入射光线所对应的折射光线方程分别为

(2)

和

可将y1和y2的交点暂时当作鱼的虚像点S′.

接着,求解S′的坐标x和y的表达式.

首先令

(3)

再将x代入(2)式,可得

(4)

3 利用EXCEL工具精确计算鱼的虚像点坐标

若要求像的精确位置,θ1与θ2之间的差异应尽量小.

依照成像的含义,θ1与θ2的差值大小可作如下估算:人眼承接光时,光线的最大范围仅限瞳孔面积.已知成人瞳孔直径的变化范围为L≈2～5mm,平均直径为L=4mm.现假设人眼瞳孔直径为该平均值,并设人眼和水下物体虚像的距离r=3m,则人眼瞳孔能接收来自该虚像光线的最大夹角度数为

鉴于人眼近距离看物体时,瞳孔直径对于物点的张角远大于0.076°,因此，尽管这是水中光线的夹角，式(3)和(4)中的θ1、θ2的差值Δθ取0.05°是合适的.Δθ取0.05°一方面是瞳孔的要求,另一方面也是为了精确计算出虚像点的位置.

现取鱼的深度h=1m,Δθ=0.05°,根据(3)和(4)式,利用Excel工作表即可计算出鱼的虚像点的精确坐标x和y,具体结果略.由于全反射角为48.61°,因此θ1取值至48°.

4 鱼的虚像点位置随入射角θ的变化轨迹

利用几何画板制图,可直观地显示出当θ改变时鱼的虚像位置的变化趋势,见图2.图中坐标点右侧数字为θ数值.

图2 鱼的虚像点位置随入射角θ的变化轨迹

由计算结果和图像可知:

(1) 随着θ角变大,虚像位置上升并向右移动,该结果与之前文献研究结果一致.

(2) 在(1)的基础上,进一步观察到像向上、向右移动时,其变化幅度越来越大.

(3) 很多初中教师认为从正上方观察鱼时,由于光几乎竖直向上,折射很少,因此鱼的虚像应该非常接近鱼的实际深度.现在,通过数据可知,即便人眼从正上方观察水中物体,虚像的位置仍明显高于实物.当物体在水下深度为1m时,虚像最深约为0.75m,即虚像深度至少比物体浅25%.因此,很多教师的通常“认知”是错误的.

(5) 由(4)及图2可知,当人们在远处观察池中鱼时,由于这时整个池子都显得非常浅,似乎成了被压扁在水面的一个平面,因此看到的是在该平面(即水面)上被压扁的且横向膨胀畸变的“鱼片”!另外,当我们在游泳池边观察游泳池的底部时,近处的泳池底部看起来还比较深,但远处的泳池底部则会显得非常浅了.

5 结束语

在探究过程中,笔者感受到了利用计算机辅助研究的巨大便利.以本文为例,通过计算机技术,像的精确位置、变化趋势等情况都能清晰地呈现出来,这是其他方法所无法企及的.中学物理教师在研究某些问题时,常常冀图通过数学方法求得完美的解析结果,但这需要具备扎实的高等数学运算能力.这样的研究角度使得研究难度骤然增大.若能变换思路,利用计算机技术求解,可能会简单明了许多.

参考文献：

1 马永常.水中鱼的像究竟在何处[J]. 天津教育,1998(7-8):75.

2 陈正国.人们看到水中鱼的一些特点[J]. 物理通报,2012(3):94-95.

3 魏喜武.看到水中鱼的位置实验的探究[J]. 实验教学与仪器,2015(12):30-31.

4 王爱红,吴彬彬.用office软件处理鱼在水中像的位置[J]. 中学物理,2015(7):89.