在寻找数字与计算之间的联系中发展数感例谈

黄慧华

（南平建阳区实验小学，福建 南平 354200）

《义务教育数学课程标准（2011版）》把数感作为“数与代数”领域十大核心概念中的第一个核心概念，对数与数量、数量关系、运算结果的估计等方面的感悟称为“数感”。朱莉娅·安吉莱瑞把学生对数字之间的关联意识和灵活解决数字问题的能力称为数感，学生能归纳数字模式和计算过程，把新旧知相联系。［1］教会学生认识并理解其中的数字关联是形成数感的关键，要重视培养学生寻找数字之间关联的意识，多角度地理解数的意义，重视口算的教学。如何引导学生在寻找数字与计算之间的联系中发展数感？

一、在拆数游戏中初步感受数字间的联系——感悟数感。

朱莉娅·安吉莱瑞认为，教师要让学生灵活熟练地运用数字，运用数字之间的关联来理解问题。教学中应该对逻辑结构中潜在的数字和数字运算之间的关系给予重视，要鼓励学生进行心算、观察数字模式、预测计算结果，并讨论其中存在的数字联系，让学生不仅会辨别数字模式和数字关系，而且能在两者之间生成联系，从而产生“感觉”。因此教师要把培养学生形成“数感”作为学校课程教学的主要目标，培养学生计算的“灵活性”和“创造性”，培养他们的数学理解力，培养他们积极的学习态度和信心。

例如，《队列表演（一）》是在学生掌握了一位数乘两、三位数和两位数乘整十数的口算乘法的基础上进行的。上课伊始创设“拆数游戏”活动，12可以拆成（ ）×（ ），还可以拆成（ ）+（ ）。设计本环节的目的，一是创设情境，提供由旧到新的支撑点，建立起新、旧知识之间的联系，为新知学习提供巧妙的支撑；二是让学生对12与其它数字之间的关联进行联想，如12可以是1和12的积，2和6的积，3和4的积，还可以是11和1的和，10和2的和， 9和3的和，8和4的和，7和5的和，6和6的和，2个6 的和，6个2的和，3个4的和，4个3的和……等等，强调把12拆成两数相加时分成10+2最快最好，在活跃气氛的同时为后续点子图的拆分和数字的分解、算法多样化和算法优化的呈现埋下伏笔，从中感悟数感。

二、在寻找点子图与数字间的联系中明算理——建立数感

《队列表演（一）》在引进算式环节创设了“观看队列表演的视频——点子图——算式”这一情境，实现了从实物的直观感知到点子图的抽象过程。在后面的引导学生探究算法的过程中让学生经历“乘法口算的图式化”——“数形结合”的过程，即利用点子图这一计数工具探索两位数乘两位数的口算乘法。

《队列表演（一）》一课借助“形”（点子图）的生动和直观性来认识“数”（12和14的分解）。在课堂展示环节，将学生不同的点子图圈法整理成条理清晰的三部分，第一种是平均分法（如图8）：横着把12平均分2个6（如图1）、6个2（如图2）、4个3（如图3）、3个4（如图4）；还有把全部点子平均分成4个6×7（如图5）（这种分法是有局限性的）；竖着平均分成2个7（如图6）、7个2（如图7）。

图1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

第二种是将一个乘数分成整十数和一位数的形式（这种分法任何两位数都可以这样分，也是竖式计算的原型）：把12分成10+2（如图9），把14分成10+4（如图10）。

图9

图10

第三种是将两个乘数都分成整十数和一位数的形式（这种分法渗透了因式分解思想）。沟通点子图与表格法之间联系，深度地理解了图表之间的关系，并能很好地沟通和转化两种算法，能够在点子图中找到表格法中数据的原型，在表格中找到点子图中的数据所在，也是下节课竖式中每个数位上的数代表的含义即算理所在，渗透因式分解含义，实现了“表中有图，图中有表，图表一家”的理念。（如图11）

图11

以“形”助“数”，借助而点子图这一抓手让教师清晰地读懂了学生的思维过程，将抽象的算理和数字之间的联系形象化、简单化。本课的难点在于理解算式每一步的含义，借助点子图挖掘数与形之间内在联系，清晰地“说”出各个数字与图之间的关系，在“说”中理解算理。如（图1）的算法（14×12=14×6×2）就表示“把点子图平均分成了2份，一份有6行，2份就有2个6行，先算出一份是多少，一份里面有6个14，就是14乘6，就是84，2份就有两个84，就是84乘2，就等于168”。同理其它算法也可以借助点子图一目了然地理解和“说”出每种算法的算理。运用数形结合思想使数量之间的内在联系变得直观，把枯燥的计算教学课与图形——“点子图”联系在一起，帮助学生建构数学模型，找到解题的捷径。

三、在寻找数字与计算之间的联系中感受算法多样化——发展数感

朱莉娅·安吉莱瑞指出，要教会学生综合应用心算和预测结果的方法提高计算能力，提高计算的正确率。［1］教会学生理解数字之间相互联系的方式、不同的可能表达形式与不同运算相联系的意义，从而建立起数字与计算之间的联系形成数感。

教学《队列表演（一）》时，要充分挖掘知识间的“纵向”联系，有效地实现新旧知间的链接，渗透转化的数学思想,培养数感。要引导学生对已经学过的两三位数乘一位数和两位数乘整十数知识进行整合，把算式进行等值变形（算式变形而保持值不变），推导出新的知识；或者是将新的知识通过改造，转化成已经学过两位数乘一位数和两位数乘整十数来解决。引导学生直接对乘法算式进行口算，对数字进行思考，思考数字与计算之间的联系，探索运算规律，渗透乘法的运算规律，第一学段虽然没有正式乘法的交换律和结合律，但乘法的这两个规律都涵盖在积不变的规律之中，要关注学生是否在计算中已经自觉或不自觉运用这些规律。算法1∶14×12=14×2×6=28×6=168；算法2∶1 4×1 2=1 4×6×2=8 4×2=1 6 8；算法3：14×12=14×3×4=42×4=168；算法4：1 4×1 2=1 4×4×3=4 6×3=1 6 8；算法5：14×12=6×7×4=42×4=168；算法6：①14×10=140②14×2=28③140+28=168；算法7：①10×12=120②4×12=48③120+48=168。算法多样化，取决于丰富多样的数字关系，要依靠数感对抽象的数字、算式进行思维，不仅要握数的相对大小关系，还要把握一个数与其他数字间的关联。所以需要根据运算律与运算性质对算式进行等值变形，提高运算效率，运用数字关联，数字的组合与分解，由程序性思维到关系性思维转化，培养学生的关系性思维，即代数思维。［2］不仅要会计算，还要能看懂别人的算法，不是所有的数都能拆成两数相乘，像11就只能拆成两数相加，因为拆成11乘1没有意义，在梳理算法的过程不知不觉的使学生明白要有一双数学的眼睛，把数字看活，使计算简便。

［1］［英］朱莉娅·安吉莱瑞.如何培养学生的数感 ［M］.徐文彬，译.北京：北京师范大学出版社，2007.

［2］教育部.义务教育数学课程标准（2011版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］王永.数学化的视界——小学“数与代数”的教与学［M］.北京：北京师范大学出版社，2013.