例谈基本不等式在初中物理竞赛中的应用

刘 坤

(上海市尚德实验学校 (201400))

物理与数学联系密切，物理问题的建模、求解，都离不开数学工具的支持.笔者在研究初中物理竞赛的赛题时，发现许多极值的求解、判断物理量变化情况的问题，均要使用基本不等式.而大部分同学对这类问题感到困难，无从下手.本文就以上问题，作出初步探讨.

一、基本不等式

设a>0，b>0，则有：(a-b)2≥0，

展开，可得：a2+b2≥2ab①

将②式变形可得：

至此，我们可以得出如下常用结论：

亦可得出类似于(1)(2)的结论.

二、学生运用不等式时的障碍

学生在求解极值、判断物理量变化情况的问题时，遇到的障碍有两个，一是不能很好的建立物理模型，利用物理规律写出物理量之间的函数解析式，尤其是题目中有些物理量还需要假设出来，就更让同学们不知所措.二是虽然写出了物理量之间的数学表达式，但是不会利用基本不等式的有关知识求解极值，或者判断物理量的变化关系.

三、如何运用基本不等式求解相关物理问题

利用基本不等式处理极值类问题，最重要的两个步骤分别是：(1)写出所求物理量与其他物理量之间的关系式(2)根据写出的关系式，求解所需的极值.下面针对上述方法，分别从光学，力学，电学简单介绍下应用：

1.光学中的应用

例1 (第30届上海大同杯初赛)凸透镜的焦距为f，点光源S2和光屏M位于凸透镜的左右两侧，点光源位于凸透镜的主光轴上，光屏与凸透镜的主光轴垂直并和点光源的距离保持L不变，且f

2.力学中的应用

例2 如图2所示L型轻杆通过铰链O与地面连接，OA=AB=6m，作用于B点的竖直向上拉力F能保证杆AB始终保持水平.一质量为m的物体以足够大的速度在杆上从离A点2m处向右运动，物体与杆之间的动摩擦因数与离开A点的距离成反比μ=1/x.已知重力加速度为g=10m/s2，则物体运动到离开A点距离x=____m时拉力F达到最小.此时F=____.

分析与解不难发现，拉力F随着物块离开A点的距离x的变而变化，我们仍要先写出F与x的关系式.

3.电学中的应用

例3 在如图4所示的电路中，已知电阻R1的阻值小于滑动变阻器的最大阻值R0.闭合电键S，在滑动变阻器的滑片P由最左端向右滑动的过程中，说明滑动变阻器滑片P由最左端向右滑动的过程中，电路总电阻R总变化情况，并指出R外取得极值的条件.

分析与解总电阻随着滑片的移动而不断改变，不妨设滑动变阻器Pb段阻值为Rx，则Pa段阻值为R0-Rx，电路中AB部分实际是R1与Pa段电阻串联后，再与Pb段并联，则由并联电路电阻规律，有：

从以上例题可以看出，一旦从题目中挖掘到有用的信息，并和已有的知识建立联系从而写出相关的表达式，接下来再运用基本不等式的知识，由此便可以解决一大类极值问题.同学们在平时的学习过程中，应注重各学科之间的联系，尤其要注意培养运用数学工具解决物理问题的能力.

参考文献：

[1]胡少希.例谈基本不等式在物理解题中的应用[J].物理教学探讨,2011(04).