利用图形计算器探究追及问题

陈习羽

(广东省中山市龙山中学 528400)

追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类问题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，要求学生要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件.并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.

显然，追及问题的求解，对图像的运用有很高的要求.但是由于用一般工具作图的效率比较低下，且作出来的一般只是静态分析图，作用不大.所以老师在引导学生探究追及问题时，往往只会作出简单的示意图，然后采用极值法、临界法等纯数学手段.虽然答案是很快计算出来了，但是并不能向学生展示物体的整个运动过程.导致的结果是，大部分学生把题目算完，还是不清楚物体到底是怎么运动.当题目难度增加，或含有隐藏条件时，他们还是不会分析，最多就只会生硬的照搬原来的解题方法.

图形计算器能很好的解决上述提到的问题，它可以快速的作出所需要的图像，既可以做静态分析，也可以做动态图做动态分析.能帮助学生更好的探究追及运动过程的中的每一个细节，理解每一个结论和结果的来历.原来在物理探究时不怎么使用图形计算器，是因为价格昂贵或者计算器操作不便.但现在智能手机已经相当普及，在智能手机安装相应的APP就可以变成一个图形计算器，把图形计算器应用到日常教学中已不再是难事.

本文使用的是德州仪器Ti-nspireCXCAS图形计算器.下面举两个例子，来说明图形计算器在探究追及问题过程中的应用和优点.

例1 公共汽车从车站开出以v=4 m/s的速度沿平直公路行驶，t0=3 s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为a=2 m/s2，试问：

(1)摩托车出发后，经多少时间追上汽车，此时离出发处多远？

(2)摩托车追上汽车前，两车最远距离是多少？

利用图形计算器探究问题，要先做一些初始工作.根据题目输入相关物理量，为了显示简洁，单位省略不输入，默认取国际单位.设追上的时间为x(该计算器作图自变量只能为x)，以车站为初位移，定义汽车位移为s1(x)，摩托车位移为s2(x)，两车距离为s(x)，如图(1).

在同一坐标系在作出两车位移图像，如图(2).通过两线的交点坐标，就可以得到摩托车出发后6 s，在离车站36 m处追上汽车.

通过图像法，我们可以很直观地看到摩托车是如何追上汽车的.而且利用图形计算器优秀的计算能力，可以瞬间得到结果.通过图像弄清楚整个追及过程后，再引导学生将上述过程转化为书面解答，如下：

联解得追上用时：t=6 s或t=-2 s(舍去)

两个车的距离，实际就是两个图像中相同时刻y坐标的差，我们可以直接在图2的基础上作出来代表两车距离的线段.拖动线段到不同的时刻，就可以动态显示这个距离的变化(文章只能以静态展示)，如图3.我们直接的就能看出两车的距离先增大，后减小.(u为单位长度，此时对应单位m)

为了精确的求出最大距离，可以画出两车距离的函数图象s(x)，用计算器找到图像的最大值，如图(4).根据图示，就可以得到摩托车出发2s时，两车有最大距离16m，与图(3)得到的结果吻合.同时我们可以找出图像的零点，则6s时两车距离为零，与第(1)问吻合.根据探究过程，转化为书面解答，如下：

(2)追上前两者距离：

根据二次函数规律，得：t1=2s时，两车有最大距离：Δsmax=16m

本题还可以进一步探究两车的速度关系，进而得到两车距离最大的临界条件.在图4的基础上，直接叠加两车的速度图象.并通过计算器求出两车速度图像的交点，如图5.可以发现，2s末，在两车距离达到最大的同时，两车速度相同，此为两车距离最大的临界条件.

返回到初始输入框，如图6.通过计算验证可得，2s末两车速度相同，且距离为16m有最大值.因此，我们得到了求最大距离的第二种方法，临界条件法.引导学生书面作答，对应的解答过程如下：

(3)当两车速度同时，有：at1=v，得：t1=2 s

例1是追及问题的规律探究.可以看到，利用图形计算器的帮助，可以精确的作出各个物体的运动图像，能同时呈现多个物体的运动规律.利用图形计算器精准的运算能力，可以快速求得图线的交点、零点、截距、长度等等有用数据，并且可以动态显示其变化过程.这对于过程分析比较弱的、空间想象能力比较差的同学，利用图形计算器进行图形分析，是他们学习追及问题、学习好物理最好的选择.

同时由于作图和运算在计算器里面是瞬间完成，在数据处理上能节约大量的时间，留给学生更多的思考时间，去探知和理解新的物理问题.人获取信息的主要通道是视觉，直观的图象分析教学，能从感情和理性两方面同时激发他们，加速学生对问题的理解.

最后，再举一个小例子.

例2 甲车以v1=10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以v2=4 m/s的速度与甲车平行同向匀速直线运动，甲车经过乙车旁边时开始以a=0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求乙车追上甲车所用的时间.

这道题，一般学生的解答是这样的：

这是一个错误的解答.为什么按照例1的解法竟然会得到一个错误的答案？我们用图形计算器，把上面的求解方法，用图像表示出来看看.

先初始化，如图(7).其中运动时间为x，甲、乙的位移为s1(x)，s2(x)，甲的速度为vt(x).选画出甲、乙的位移图像，如图(8)，求得图像交点坐标(24，9).

根据图像我们会发现，在24 s前，甲车有一小段是在后退的，这在刹车过程不可能发生.利用计算器找出甲位移图象的最大值，同时再作出甲车的速度图像，得图(9).

图像显示，甲在20 s末开始后退，但实际上此时甲的速度已经为零.也就是说，甲在20 s后就保持静止在位移100 m处.修正甲的运动图像，得图(10).通过图象可得实际追上所用的时间为25 s.

通过例2我们可以看出，用图形计算器可以实时把物体的整个运动轨迹直观的呈现出来.原先题目所隐藏的条件或者设置的陷阱，在此无所遁形.

参考文献：

[1]康杰. 图形计算器在中学数学探究性学习活动中的应用[J].数学教育学报,2002(05).