江苏高考数学热点难点浅析

【摘要】分析高考数学难点，把握高考数学热点，了解试题来源，理解命题背景，对高三数学复习大有裨益！通过揭秘近十年来江苏高考数学压轴题的命制，启发教师在高三数学复习中，应注重培养学生代数式变形与转化能力；引导学生关注教材中的基本模型；注重学生运算能力的培养，引导学生思考简捷的算法；要求学生在掌握通性通法的同时，了解试题的高等数学背景；让学生学会如何抓住基本概念，破解新定义题。

【关键词】江苏高考数学 试题来源 命题背景 压轴题的命制 高三数学复习

【中图分类号】G633 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）18-0-01

一、培养代数式变形与转化能力

《2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明》（以下简称：江苏高考考试说明）样卷中第14题选取的2012年江苏卷第14题。该题考查不等式、函数的导数等基本知识，考查代数式的变形和转化能力，考查灵活运用有关知识解决问题的能力。问题如下：已知正数满足：，则的取值范围是___。命制思路简析：初稿为：已知正数满足：，，求的范围。二稿命制思路：令，整理得2012年江苏卷第14题。类似的，考查代数式的变形和转化能力的试题还有2016年江苏卷第14题。在文[1]中已详述其命题思路，这里从略。

二、引导学生关注教材中的基本模型

江蘇高考考试说明样卷中第18题选用的2014年江苏高考的应用题。本题考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，以及学生的数学应用意识。该题源于教材，以“苏教版教材必修2第92页例5”与“苏教版教材必修2第113页例2”为背景，采用“多问题重组[2]”的方法命制而成。 此外，2016年江苏卷第17题、第19题也均为教材例习题改编，其命制思路在文[3]中已详述，这里从略。

三、培养运算能力，思考简捷算法

高三复习中，圆锥曲线常出现的问题是：学生通性通法的思路都懂，就是算不出来。如何运算、选择怎样的算法打开运算死结呢？请看以下江苏高考题命制思路：

（2011江苏卷第18题命制思路）有心圆锥曲线中点弦的统一性质：设椭圆（双曲线）（m、n均不为0，且不同时为负数）过中心的弦为AP，曲线上异于A，P的任意一点为B，则，因为，所以，又因为；则；令椭圆方程为，则，据此命制2011江苏第18题第（3）问。此外，2012年江苏卷第19题、2015年江苏卷第18题除通性通法外，还可使用参数方程、极坐标等方法求解。

四、掌握通性通法，了解高等数学背景

江苏高考考试说明样卷中第19题选用的2013年江苏高考第20题。该题考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法。其命制思路如下：

函数的图像在单调递增，在单调递减，最大值为，（此处极限值用洛必达法则求得）

若，则当时，方程的根个数为1，当时，方程的根个数为2，据此命制2013年江苏高考第20题第（2）问。2016年江苏卷第20题、2012江苏卷第20题、2010年江苏卷第18题、2008年江苏卷第14题也涉及高等数学背景。在文[1]中已详述2008年江苏卷第14题、2016年江苏卷第20题、2012江苏卷第20题的命制思路，这里从略。2010年江苏卷第18题的命制思路如下：由高等几何知识知：点T（t ， m）关于椭圆的极线方程为：，此直线恒过x轴上一定点，从而直线MN必过定点。令椭圆方程为：，则直线MN必过定点（1，0），据此命制2010年江苏卷第18题第（3）问。同时，该题第（3）问还可以用向量法、合分比性质打开运算死结。作为仿射变换的典型示例，该题结论也适用于双曲线。

五、抓住基本概念，破解新定义题

2017年江苏卷第19题与2011年江苏卷数学第20题第（2）问方法一致。学生抓住基本概念，均可破解。2014年江苏卷第20题考查数列的分拆。以上为新定义的数列压轴题，新定义的导数压轴题有2010年江苏卷第20题，现给出其第（2）问的简便解法：

，所以在上为增函数.注意到，所以

（显然，否则，矛盾！）

对于

，满足题意.

对于，同理有与题设矛盾，舍去。从而

六、复习建议

（1）教师要引导学生做透教材中的例题和习题，并善于寻找高考试题在教材中的原型，探索出高考题与教材题目的结合点，利用这些指导我们的高考复习。（2）强化运算能力（包括速度和技巧）的训练。要强化到每一天， 每一练，每一题。（3）在审题方面， 要提升解读层次， 加大穿透题意的力度。（4）要在乎来自各个方面的信息。除关注考查内容的变动，考纲要求的微调等高考信息外，还应该关注——教材、往年高考题、竞赛题。

参考文献：

[1：刘蒋巍.例谈试题打磨的九种方法[J].文理导航（下旬），2016，No.252（12）：98.

[2] 刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参考，2018，（03）.

[3] 刘蒋巍.例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J]. 文理导航（中旬），2017，No.257（02）：18.

作者简介：刘蒋巍，江苏如东人，CNKI大成编客推荐主编，学思堂教育研究院教研员。在《高等数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文20余篇，著作有《命题转换的9种方法在教学中的运用》等，《悠悠古文之路，漫漫古典情怀——走进唐宋八大家》编委。