平面向量求解中的误区警示

■李佳宁

平面向量融数、形于一体，具有几何与代数的“双重身份”，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。下面汇集了求解向量问题中的种种错误，并剖析其原因，希望对大家的学习有所帮助。

误区1：忽视向量概念中的特殊情况

例 1下列四个命题，其中正确命题的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

错解：四个命题都正确，应选D。

剖析：根据向量数量积的概念，可知0·a应是一个实数0，0·a应是一个向量0，①正确，②错误。由向量的减法运算法则和向量共线的意义，可知③正确。由 a·b =a ·b cosθ ，可知当θ=0或θ=π时，a·b =a ·b成立，④错误。应选B。

警示：求解有关向量问题，一定要注意向量的本质属性，分清特殊情况和一般成立的关系，注意零向量和实数0的区别。

变式训练1：下列命题正确的是( )。

A.a∥b，b∥c⇒a∥c

B.若a与b互为相反向量，则a+b=0

C.平面向量a，b平行的充要条件是存在不全为0的实数λ1，λ2，使得λ1a+λ2b=0

D.若a与b互为相反向量，则a≠b

提示：当b=0时，A错误。互为相反向量的和为零向量而不是实数0，B错误。当a=0时，其相反向量也是0，此时a=b，D错误。应选C。

误区2：忽视两个向量的夹角

例 2在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为( )。

警示：利用向量可以平移的特点，将两个向量平移为共起点的两个向量，再求两个向量的夹角。两个向量a与b的夹角公式为量a与b的夹角。

变式训练2：若非零向量a，b满足|a|=，且 (a - b)⊥ (3a +2b)，则向量a与b夹角的正弦值为( )。

误区3：忽视一个向量在另一个向量方向上的投影

例 3已知向量a，b的夹角为45°，且b在a方向上的投影等于( )。

剖析：上述解法忽视了向量b在a方向上的投影的意义，错解求的是向量a在b方向上的投影。

故向量b在a方向上的投影等于

警示：若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，〈a，b〉=θ，则向量a在b方向上的投影为问题的两个注意点:①向量a在b方向上的投影是有序的；②向量a在b方向上的投影是一个数量，可正，可负，可为零。

变式训练3：已知点A(-1，1)，B(1，2)，C(-2，-1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )。

误区4：忽视向量数量积与实数乘法的区别

例 4已知a，b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角。

错解：由题意可得方程组:

由2a-b=0，可知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°。

剖析：对于实数a，b，若a b=0，则a=0或b=0，但对于向量a，b，若满足a·b=0，则不一定有a=0或b=0，因为a·b=|a|·|b|cosθ与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a，b均可以不为0。

把b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0，得a2=2a·b。

故a2=b2=2a·b，则cos〈a，b〉=可得〈a，b〉=60°，即向量a与b的夹角为60°。

警示：向量的数量积运算不满足结合律，也不满足消去律，解题时要引起大家的注意。

变式训练4：以下四个命题，其中正确命题的个数为( )。

① (a · b)·c=a·(b · c)；②|a+b|≤a +b；③ (a - b)·c=a·c-b·c；④如果a·b=a·c，且a≠0，那么向量b，c在a方向上的投影相等。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：向量的数量积的运算不满足结合律，①错误。由向量几何运算的意义及平行四边形法则，可知②正确。由向量的运算法则，可知③正确。a·b=a·c，说明b，c在a方向上的投影相等，④正确。应选B。

误区5：误认为向量a与b的夹角为钝角(锐角)⇔a·b＜0(＞0)

例 5已知a=(2，1)，b=(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ。若θ为锐角，则λ的取值范围是( )。

剖析：上述解法忽视了向量的夹角与向量的数量积的关系。当θ为锐角时，应满足0＜cosθ＜1，而错解中没有排除cosθ=1，即两向量共线且同向的情况。

警示：一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ，则〈a，b〉为锐角⇔a·b＞0为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线⇔

变式训练5：已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λ b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为( )。

提示：由题意得a·(a+λ b)＞0，且a与a+λ b的夹角不等于0°。

误区6：忽视共线向量或三点共线的条件

例 6已知同一平面上的向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的长度。

错解：易知a，b，c均为非零向量。

设a，b，c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°。

所以a·b=|a|·|b|cos 120°=-1。

同理可得，b·c=-3，c·a=-。

由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，可得|a+b+c|=。

剖析：上述解法是把a，b，c看成非共线向量求解的，而当a，b，c共线且同向时，它们所成的角都相等且等于0°，也符合题意。

当向量a，b，c共线且同向时，它们所成的角均为0°，这时|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；

当向量a，b，c不共线时，由错解可知|a+b+c|=。

综上所述，向量a+b+c的长度为6或

警示：求解共线向量问题时，一定要注意向量 的 方 向。 若(λ，μ 为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ+μ=1。

变式训练6：如图1，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，CD与BE交于点F，已知=x a+y b，则(x，y)为( )。

图1

误区7：忽视向量的几何意义与三角形“内心”之间的关系

例 7设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足P的轨迹一定经过△ABC的( )。

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

错解：应选A或C或D。

剖析：上述解法忽视了共起点的两个单位向量的和向量为其角平分线，而△ABC的角平分线的交点为内心，题设中的动点P 满点P的轨迹一定经过△ABC的内心。应选B。

警示：由两个单位向量的和向量以及向量共线的条件可得:若P经过△ABC的内心。

变式训练7：已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M 为该三角形所在平面内的一点，若a=0，则点M是△ABC的( )。

A.内心 B.重心

C.垂心 D.外心

提示：如图2，延长CM 交AB于点D。

图2

由三角形的内角平分线定理的逆定理可得CD为∠ACB的平分线。

同理可证，AM、BM 的延长线也是角平分线。

故M是△ABC的内心。应选A。

误区8：忽略向量的几何意义与三角形“垂心”之间的关系

例8已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的( )。

A.重心 B.垂心

C.外心 D.内心

A.垂心 B.重心

C.内心 D.外心

故点O是△ABC的垂心。应选A。

误区9：忽略向量的几何意义与三角形“外心”之间的关系

例 9已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的( )。

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

错解：应选B或C或D。

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心