平面向量知识点导学

■王佩其

知识点一：向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念。

(1)向量:既有大小又有方向的量。

(2)零向量:长度为0的向量，其方向是任意的。

(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量。

(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量。

(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量。

2.向量的加法与减法。

(1)向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。

(2)向量的减法与加法互为逆运算，遵循三角形法则。

3.两个向量共线定理。

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a。

例 1下列命题中正确的是( )。

A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

零向量与任一向量都共线，A项错误。由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成平行四边形，B项错误。向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，D项错误。对于C项，可以用反证法来说明该命题的真假，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线可知a与b共线，不符合已知条件，所以向量a与b不共线，则a与b都是非零向量。应选C。

方法归纳：准确理解向量的基本概念是解决此类问题的关键，理解向量的概念时还应注意以下两个重要结论：①向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；②向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。

例 2设两个非零向量e1和e2不共线，如果3e1-k e2，且 A，C，F三点共线，求实数k的值。±1。

因为2e1-3e2，所以3e1-2e2。

因为A，C，F三点共线，所以从而存在实数λ使得，故3e1-2e2=3λ e1-λ k e2。

又因为e1，e2是两个不共线的非零向

所以实数k的值为2。

变式1：在例2的条件下，试确定实数k的值，使得k e1+e2与e1+k e2共线。

提示：因为k e1+e2与e1+k e2共线，所以存在实数λ使得k e1+e2=λ(e1+k e2)，即

提示 ：因为所 以=4e1+e2。

因为=-8e-2e，所 以=

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又因为有公共点C，所以A，C，D三点共线。

知识点二：平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}，λ1e1+λ2e2叫作向量a关于基底{e1，e2}的分解式。

例 3(1)如图1，在△ABC中，点M，N满足

图1

(2)已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC分别交于M、N两点，且

方法归纳：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

例 4如图2，在△O CB中，点A是边BC的中点，点D是将O B分为2∶1的一个内分点，DC和O A交于点E，设=a，=b。

图2

(1)用a和b表示向量

(2)若，求实数λ的值。

方法归纳：平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有着至关重要的作用，在使用时一定要注意两个基向量不共线这个条件。

知识点三：平面向量的数量积

1.向量的夹角。

(1)向量的夹角的定义:已知两个非零向量a和b，作=b，如图3所示，则∠AO B=θ叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉=θ。

图3

(2)向量的夹角的范围:夹角θ的范围是[0，π]。a与b同向时，夹角θ=0；a与b反向时，夹角θ=π。

2.平面向量的数量积。

(1)数量积的定义:已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量|a||b|cosθ，记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。

(2)向量的投影:设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是|a|cosθ，向量b在a方向上的投影是|b|cosθ。

(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

(2)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是____。

(3)在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若点D在斜边BC上且CD=2DB，则=____。

(1)a·b=|a||b|cosθ=选B。

(2)将正方形ABCD放入如图4所示的平面直角坐标系中。

图4

(3)由向量加法的三角形法则和向量共线定理，可知将表示，代入中求解即可。

方法归纳：计算平面向量的数量积有以下三种方法：①定义法：a·b=|a||b|cosθ。②坐标法：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2。③分解转化法(基底法)：利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建立坐标系的情况下，通过向量的运算得到答案。

例 6(1)已知向量a，b的夹角为，且|a|=3，|b|=2，在 △ABC中=2a+2b，AC→=2a-6b，D为BC的中点，则|AD→|等于( )。

A.2 B.4

C.6 D.8

(2)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为( )。

(2)(a-2b)·a=|a|2-2a·b=0，(b-2a)·b=|b|2-2a·b=0，所以|a|2=|b|2，即|a|=|b|。

故|a|2-2a·b=|a|2-2|a|·|b|·cos〈a，b〉=0，可得cos〈a，b〉=。

例 7(1)已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λ b(λ∈R)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为( )。

A.1 B.-1

C.2 D.0

(2)在△ABC中，若，则△ABC是( )。

A.等边三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.直角三角形

(1)由题意可知a·b=|a|·|b|cos60°=。又因为(a+λ b)⊥(a-2b)，故(a+λ b)·(a-2b)=0，即a2+λ a·b-2a·b-2λ b2=0，可得1+-1-2λ=0，解得λ=0。应选D。

方法归纳：向量的垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径。

知识点四：向量的应用

1.向量在平面几何中的应用。

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，有时也用到向量减法的三角形法则。

(2)证明线段平行、三角形相似，判断两条直线(或线段)平行，常运用向量平行(或共线)的条件:a∥b⇔a=λ b(或x1y2=x2y1)。

(3)求与夹角相关的问题，可利用向量的

2.平面向量在物理中的应用。

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，所以可以用向量的知识来解决。

(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积，即W=F·s=|F||s|·cosθ(θ为F与s的夹角)。

例 8(1)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为CD的中点，则

A.2 B.4

C.5 D.10

(2)三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，点D是BC的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证:∠ADB=∠FDC。

(2)如图5所示，建立直角坐标系。

图5

设点A(2，0)，点C(0，2)，则点D(0，1)，于是=(-2，1)，=(-2，2)。

设点F(x，y)，由B·=0，即(x，y)·(-2，1)=0，所以-2x+y=0。 ①

又因为点F在AC上，则，而=(-x，2-y)，因此2(-x)-(-2)(2-y)=0，即x+y=2。 ②

又因为所以cos∠ADB=cos∠FDC，故∠ADB=∠FDC。

方法归纳：用向量方法解决平面几何问题可分三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系。

例 9(1)已知(x2+y2)(a2+b2)=

(2)求证:(a b+c d)2≤(a2+b2)(c2+d2)。

根据给出的代数式的特征和向量的有关运算性质，构造向量，转化为向量问题来解决。

(1)若x=y=0，则结论显然成立。

若x、y不全为0，设p=(x，y)，q=(a，b)。

(2)设=(c，d)。

当至少有一个为零向量时，所证不等式成立。

故原不等式成立。

方法归纳：待解决的代数、几何、三角、物理等问题，只要其表达式能用向量的运算来表示，就可以考虑使用向量方法来解决。本例中x2+y2，a2+b2，c2+d2与向量的模有联系，而a x+b y，a c+b d与向量的数量积有联系，故可尝试设出向量来表示。