聚焦离散型随机变量的常考题型

陈国林 黄林盛

(1.赣南师范大学科技学院 341000;2.广东省广州市真光中学 510000)

一、求解随机变量的值

解析答完5道题，可能的结果是：答对0道，此时S5=-25,ξ=25；答对1道，此时,S5=-15,ξ=15；答对2道，此时S5=-5,ξ=5；答对3道，此时S5=5,ξ=5;答对4道，此时S5=15,ξ=15；答对5道，此时S5=25,ξ=25，所以ξ的取值只能是5，15，25.

评注如果随机实验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.对于随机变量可能取的值，可以按照一定次序列出，叫做离散型随机变量，对于离散型随机变量的值的求解过程中需要注意对各种情况讨论，以免漏解.

二、求解随机变量对应的试验结果

例2 (河北省石家庄市2017届高三第二次质量检测)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0% A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格.

类型 A1A2A3A4A5A6 数量105520155

(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；

(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率.

评注求解随机变量实验结果的概率问题时，需要注意每一个随机变量对应着不仅仅只有一个结果，能够准确搞清楚实验结果的情况，是解决此类问题的关键.在解决本题时就必须准确找出从六辆车中随机挑选两辆车的所以情况，并且找出其中两辆车恰好有一辆事故车的情况方可求解出本题的正确结果.

三、求离散型随机变量的分布列和期望

例3 (2017年4月安庆市重点中学联考)为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图1所示.

甲型号节排器 乙型号节排器

图1

综合得分k的范围节排器等级节排器利润率 k≥85一级品 a 75≤k<85二级品 5a270≤k<75 三级品 a2

将视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总数，若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E(ξ).

ξ0123P27642764964164

评注一般地，离散型随机变量ξ可能的取值为X1,X2,…,ξ取得每一个值Xi(i=1,2,…)的概率为P(ξ=Xi)=pi，其ξ的分布列需满足pi>0(i=1,2,…；p1+p2+…+pi+…=1.期望E(ξ)=x1p1+x2p2+…xipi+….

四、求离散型随机变量的方差

评注本题根据概率和为1和期望E(ξ)=1可列出等式，求解出随机变量ξ的取值为1和2的概率，再利用方差公式即可求出D(ξ)的值.另外求解方差时，需要了解D(aξ+b)=a2D(ξ).

五、探究性问题

例5 (四川省泸州市2017届高三三诊)甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标 [85,90) [90,95)[95,100)[100,105)[105,110] 机床甲81240328 机床乙71840296

(1)试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；

(2)甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在(1)的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？

评注本题要求以获得利润的期望值为决策依据，选择出最佳安排生产方案，首先需要明确共有3种方案：甲机床生产2件，甲乙机床各生产1件，乙机床生产2件，并根据其情况分别算出各种方案下所对应的期望值进行比较，便可以得出安排乙机床生产最佳.

参考文献：

[1]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中学. 普通高中课程标准实验教科书(数学选修2 -1)[M]. 北京:人民教育出版社,2008.