点估计的一种敏捷算法

王 灿

（成都师范学院 数学学院，四川 成都 611130）

1 引言

参数估计包括点估计和区间估计两种方法，而点估计又是区间估计的基础.目前比较常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法等，其中矩法虽然简单，但其局限性比较大，对期望不存在的随机变量无法使用；最大似然法依据“一次实验就发生的事件有较大的概率”的思想，是目前应用比较广泛的方法.但对分布律或概率密度复杂的随机变量而言，此种方法的计算量就比较大.但其衍生出的派生估计法[1]就在一定程度上简化了计算.

2 算例

为了使计算更加简便，先给出正态分布的最大似然估计量和派生估计量，并结合定理把已知分布类型的随机变量逼近成正态分布N（μ,σ2），再化成标准正态分布，这样在原来派生估计法的基础上，只需要选择）作为派生估计量即可.

例 1设 X～N（μ,σ2），μ,σ2为未知参数，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，样本值为x1,x2,…,xn，求 μ,σ2的估计量.

解法一最大似然估计法

X的概率密度为：

似然函数为：

取对数有：

对参数求导有：

解法二派生估计法

则互相独立且都服从标准正态分布，因此把看作来自总体的样本，由正态分布N（μ,σ2）参数均值和方差的最大似然估计，得

两种解法所得结果相同，但派生法更简单.

例 2已知 X～B(n,p)，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，求未知参数p的派生估计量.

解因为 X～B(n,p)，由 De Moivre-Laplace定理，得

由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得

例3已知X～U(0,θ],证明未知参数θ的最大似然估计量不是无偏的，但其派生估计量是无偏的.

解由已知得似然函数为显然 L(θ)随 θ 的增加而减少，故 L(θ)在 max{x1,x2,…,xn}处取得最大值，于是θ的最大似然估计量为θ^=max{x1,x2,…,xn}，

推得的概率密度为

故最大似然估计量=max{X1,X2,…,Xn}不是无偏的；

因为 X～U(0,θ]，由中心极限定理得

由标准正态分布N(0,1)参数均值的派生估计量得

故派生估计量=2是无偏的.

3 结语

以上实例表明，把中心极限定理应用到参数估计理论中是很好的思路，不仅可以简化很多分布类型的参数点估计计算过程，且得到的估计结果还可能具有更好的性质.

〔1〕 孙祝岭.点估计的一种新方法[J].统计与决策，2010(11)：163-164.

〔2〕 顾蓓青，王蓉华，徐晓岭，吴生荣.极大似然估计的间接求法[J].统计与决策，2010(10)：153-155.

〔3〕 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.149-156.