初中数学教学中灵活应用数学模型

杨俊祥

在学习数学时，有些学生对数学模型的理解存在错误的认知，认为建立数学模型只是为了完成一个数学任务.这些学生没有意识到建模思路是一种重要的学习思路.将建模思路应用到学习数学中，有利于学生应用数学模型深入理解知识，也有利于学生应用数学模型灵活解决各类问题.

一、应用数学模型解决几何问题

现以探讨平行四边形的周长为例说明几何问题是不是模型问题.平行四边形的周长公式是“C=2（a+b）”.那么，能否把这一公式理解为函数呢？假设把C作为要探讨的对象，如果知道了a，就可以把C视为C=2a+2b.此时我们可以把几何问题转化为模型问题来解决，应用探讨一次函数的方法来探讨几何问题.如图1，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，并且要求CD恒大于DA.已知DA=2.在AC上任取两点P、Q，它们同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC方向与DA方向移动，在AC作垂线段QR，让QR=PQ，连接PR，当点Q与A点重合时，点P、Q同时停止运动.设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S.以上数学问题的函数图象如图2.根据图像求n是多少？我们可以把几何问题转化为函数问题来求解：当x=87时，△PQR与△ABC重叠部分的面积等于△PQR的面积.因为PQ=87，并且QR=PQ，所以可得QR=87，计算得n=S=12×872=3249.

二、应用数学模型解决统计问题

在应用数学模型解决统计问题的时候，有些学生想到的是找到统计问题的变量，一个变量为x，另一个变量为y，然后探讨x与y的关系.他们认为模型问题不就是探讨一个变量和另一个变量关系的问题吗？这样看待统计问题，说明学生对模型问题的认知还停留在解决问题上，而不是创造问题上.

例如，现有一个游戏，游戏中有A、B、C、D四个NPC，应用魔法攻击值、物理攻击值力、移动力、魔法力四项指标来描述这四个NPC的能力.现假设魔法攻击值、物理攻击值力、移动力、魔法每项可设计的参数为1～100，并且总能力都为100.（1）请分别设计突出A、C、B、D这四项指标某一项的模型（即突出的值超过四项参数的平均值）.（2）假设要调整四项指标的权重，那么如何让总能力都为100，并且突出四项指标中某项数值呢？可以看到，（1）探讨的是总能力y与四项指标参数之间的关系；（2）中要求学生自由设计四项参数的权重，并让四项参数的权重达到总能力值的要求.我们要应用结合建模的需求调整建模参数的思路来看待建模问题.只有应用这样的方式看待统计问题，学生看待问题的视角才能宏观化，才能结合需求拟订复杂的数学模型，分析数学问题中的数据问题.

三、应用数学模型解决计算问题

在遇到数学计算问题时，如果巧妙应用模型思路，学生就能快速解决各种计算问题.这种计算思路经常被应用到估算验算中.

例如，现有一个圆形水池，它的面积是800m2.有人说水池的半径是18m，对不对？我们可迅速建立估算模型.圆形水池的计算面积公式为要S=πr2，即r=800π≈8003=266≈16（式1）.结合这一计算模型，我们可以应用（式1）估算答案.可以看到，18与16平方后答案相距甚远，这个答案一定不对.我们还可以应用建模思想逆向思考答案：S=182×π=324×3≈950.这一模型的计算方案简捷明了，更易计算出问题的答案.

总之，在学习数学知识时，学生要应用数学模型來转化问题，把各种非数学模型的问题应用函数、方程、不等式的方式来解决，这是数学转换思想的应用；学生要结合解决问题的需求应用数学模型宏观规划问题，这是应用数学模型来分析、规划复杂问题的常用方法；学生要利用数学模型抽象性的特点，把复杂的具象问题抽象为简单的抽象问题，应用数学模型来化简复杂的数学问题.只有灵活应用数学模型，学生才能高效解决各种数学问题.