聚焦机械波的多解问题

■山东省泰安英雄山中学 谢 龙

综观近几年的高考试题可以看出，机械波的多解问题是考查的重点之一，同时也是同学们在高三复习阶段中的难点之一。同学们在解答此类问题时经常会因为无法正确理解产生多解的原因而出现失误。下面就机械波多解问题形成的原因作简要的探讨，供同学们参考。

一、波的周期性形成多解

波的周期性主要体现在时间周期性和空间周期性两个方面。波的时间周期性是指沿波的传播方向，在x轴上取一给定质点，在t+kT(k=1，2，3，…)时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况(位移、速度、加速度等)相同，因此在t时刻的波形与t+kT(k=1，2，3，…)时刻的波形必然多次重复出现。波的时间周期性表明：波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图像相同。波的空间周期性是指沿波的传播方向，在x轴上任取一点P，P点的振动完全重复波源O的振动，只是在时间上比O点的振动落后Δt时间，且。在同一波形图像上，凡坐标与P点坐标之差为波长整数倍的质点，在同一时刻的振动情况(位移、速度、加速度)相同。因此在同一波形图像上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现。波的空间周期性表明：在同一波形图像上，相距为波长整数倍的多个质点的振动情况完全相同。

例1(2017·天津卷)手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平传播，如图1所示。绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L。当t=0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是( )。

图1

A.该简谐波是纵波

B.该简谐波的最大波长为2L

Ct.=时，P在平衡位置上方

Dt.=时，P的速度方向竖直向上

解析：绳波中质点的振动方向与波的传播方向垂直，属于横波，纵波的传播方向和质点的振动方向在同一直线上，故选项A错误。根据波形图和波的传播方向可知，位移恰好为零且速度方向竖直向上的质点P与O点的距离应为波长，当n=0时波长取最大值，且λmax=4L，故选项B错误。时间内质点P由平衡位置振动到波峰，时间内质点P由波峰回到平衡位置，t=时质点P在平衡位置上方且向上振动，t=时质点P在平衡位置上方且向下振动，故选项C正确，D错误。答案为C。

二、传播方向的不确定性形成多解

机械波在传播过程中，可以分别沿正、负方向传播，当波沿正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则波沿正、负方向传播到这一时刻的波形相同。如果遇到题目中无明确说明波的传播方向时，则波存在两种可能的传播方向，那么就会形成多解。

例2如图2所示，一列简谐横波沿x轴方向传播，实线为t=0时刻的波形图，虚线为t=0.5s时刻的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5s，则关于该简谐波，下列说法一定正确的是( )。

图2

A.波速为6m/s

B.频率为1.5Hz

C.t=1s时，x=1m处的质点处于波峰

D.t=2s时，x=2m处的质点经过平衡位置

解析：由波形图可知，波长为4m。实线为t=0时刻的波形图，虚线为t=0.5s时刻的波形图，若波沿x轴正方向传播，又有该波的周期大于0.5s，则0～0.5s时间内波传播的距离故周期T=s，频率f=1.5Hz，波速v=λf=6m/s。t=0时，x=1m处的质点在波峰位置，t=1s时，该质点应该在波谷位置。2s=3T，t=0时，x=2m处的质点在平衡位置，t=2s时，该质点同样在平衡位置。若波沿x轴负方向传播，又有该波的周期大于0.5s，则0～0.5s时间内波传播的距离Δx=0.5Hz，波速v=λf=2m/s。1s=，t=0时，x=1m处的质点在波峰位置，t=1s时，该质点应该在波谷位置。2s=T，t=0时，x=2m处的质点在平衡位置，t=2s时，该质点同样在平衡位置。答案为D。

三、波形的隐含性形成多解

当机械波问题中只给出完整波形的一部分，或只给出波形上的几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态时，波形就存在多种可能情况，从而形成多解。

例3一列简谐横波向右传播，波速为s，故周期T=2s，频率f=v，在沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷，则t的可能值有( )。

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析：作出包含距离为L的P、Q两质点满足题设条件的波形，如图3所示的a、b、c、d四种情况，Q质点的运动方向已在图中标出。在图a中=L，则λ=2L，由波速及波长的关系得，而Q质点第一次到达波谷的时间同理可知，在图b中在图c中λ=L，在图d中，T=答案为D。

图3

综上所述，机械波的多解问题产生的根本原因是波形图的周期性重复。因此我们在求解该类问题时，要充分重视对图像的认识和理解，仔细分析图像，挖掘隐含条件，结合传播方向，利用波的传播规律，正确求解相关问题。

跟踪训练

1.已知平面简谐波在x轴上传播，原点O的振动图像如图4a所示，在t时刻的波形图如图4b所示，则t'=t+0.5s时刻的波形图可能是图5中的( )。

图4

图5

2.一列沿水平绳传播的简谐横波的频率为10Hz，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m处的质点Q也刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是( )。

A.8m/s，向右传播

B.8m/s，向左传播

C.24m/s，向右传播

D.24m/s，向左传播

3.如图6所示，A、B是一列简谐横波中的两点，某时刻，A点正处于正向最大位移处，另一点B恰好通过平衡位置且向y轴负方向振动。已知A、B两点的横坐标分别为xA=0，xB=70m，并且波长λ满足不等式20m<λ<80m，求波长λ。

参考答案：

1.CD 2.BC

3.当波沿x轴负方向传播时，λ=56m、;当波沿x轴正方向传播时，λ=40m和m。

图6