具变号权函数的二阶微分系统正解的存在性

秦培歌, 薛春艳

(北京信息科技大学 理学院, 北京 100192)

0 引 言

近年来,具变号权函数的微分方程或系统得到了广泛的研究[1-8]。众所周知,这类问题描述了很多重要的物理现象。比如,在量子力学模型[9-10]、半导体理论以及依赖于时间和空间的封闭容器中的核反应[11]数学模型中都有广泛的应用。

在本文中,考察如下二阶微分系统:

(1)

其中

此处,fi(u(t))表示fi(u(t))=fi(u1(t),u2(t),…,un(t)),i=1,2,…,n,且ωi(t)(i=1,2,…,n)在[0,1]上可能变号。则系统(1)的方程表示为

(2)

系统(1)的边界条件表示为

(3)

当n=1时,系统(1)退化为标量方程

(4)

其中ω(t)在[0,1]上变号。Yao[1]运用锥拉伸与锥压缩不动点定理研究了边值问题(4)正解的存在性和多解性。Jiang等[2]运用Schauder不动点定理得到了问题(4)存在一个正解。值得注意的是,在上述文献中,作者只考虑了二阶微分方程权函数变号的情况,本文则把权函数变号的二阶微分方程推广到n维系统,得到系统正解的存在性。

在本文中,除非另有说明,默认i=1,2,…,n。

1)ωi:J→R是连续的,存在ξ∈(0,1)使得

且ωi(t)在J的任意子区间上不恒为零;

3) 存在0<θ<+∞,θ≠1和k1,k2>0,使得k1‖u‖θ≤fi(u)≤k2‖u‖θ。

注1 系统(1)的解u是满足(1)的向量值函数u∈C2(J,Rn)。若一个解u=(u1,u2,…,un)T是正的,则对任意t∈J,有ui(t)≥0,i=1,2,…,n,且u至少有一个非零分量。

1 预备知识

定义

则有

引理1 假设条件1)和2)满足,则问题(1)有一个解u=(u1,u2,…,un)T。其中,

证明 引理1的证明类似于文献[17]中引理2的证明。

由G(t,s)的定义可知,它有如下性质:

命题1G(t,s)由式(6)定义,于是有

为了获得系统(1)正解的存在性,需要假设下面条件成立:

4) 存在0<σ<ξ,使得

下列命题表明条件4)是合理的。

命题2 假设存在0<σ<ξ使得

证明 首先证明

G(t,ξ-μτ)≥σG(t,ξ+τ),τ∈[0,1-ξ]

情况1 若t∈[0,ξ],有

情况2:若t∈[ξ,1],有

然后,做变换s=ξ-μτ,τ∈[0,1-ξ],可得

做变换s=ξ+τ,τ∈[0,1-ξ],可得

接下来,由命题的假设,对于任意的(t,τ)∈[0,1]×[0,1-ξ],有

在上述不等式两边对τ从0到1-ξ进行积分,可得

因此,有

则命题2得证。

因此,(X,‖·‖)是一个实Banach空间

令

构造锥K如下:

对于r>0,定义集合

令T:K→X是元素为(T1,…,Ti,…,Tn)的集合,则有Tu=(T1u,…,Tiu,…,Tnu)T。其中

(7)

由引理1和式(7),可以得到下列引理。

引理2 假设条件1)和2)满足,则u∈X是系统(1)的解当且仅当u是算子T的不动点。

引理3 假设条件1)～4)满足,则T(K)⊂K且算子T:K→K是全连续的。

证明 对任意u∈K,首先证明

证明如下:

因此,对任意u∈K,t∈J,有

另外,有

因此,T(K)⊂K。

由常规的步骤可得算子T是全连续的。

下面给出本文运用的主要引理,见文献[19]。

1) ‖Tx‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1;‖Tx‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2;

2) ‖Tx‖≥‖x‖,∀x∈P∩∂Ω1;‖Tx‖≤‖x‖,∀x∈P∩∂Ω2。

2 主要结果

在本节中,运用引理4讨论系统(1)正解的存在性。

定理1 假设条件1)～4)成立。当θ>1时,系统(1)至少存在一个正解。

证明 一方面,由于θ>1,根据条件3),得

这表明存在r>0,使得

fi(u)≤ε‖u‖, 0≤‖u‖≤r

其中ε满足

对任意u∈∂Ωr,有

即

‖Tu‖≤‖u‖, ∀u∈∂Ωr

(8)

另一方面,由于θ>1,根据条件3),得

这表明存在R>0,使得

fi(u)≥η‖u‖, ‖u‖≥R

其中η满足

对任意u∈∂ΩR,可得

即

‖Tu‖≥‖u‖, ∀u∈∂ΩR

(9)

定理2 假设条件1)～4)成立。当0<θ<1时,系统(1)至少存在一个正解。

证明 一方面,由于0<θ<1,根据条件3),得

这表明存在R>0,使得

fi(u)≤ε‖u‖, ‖u‖≥R

其中ε满足

对任意u∈∂ΩR,类似于式(8)的证明,可得

‖Tu‖≤‖u‖, ∀u∈∂ΩR

(10)

另一方面,由于0<θ<1,根据条件3),得

这表明存在r>0,使得

fi(u)≥η‖u‖, 0≤‖u‖≤r

其中η满足

对任意u∈∂Ωr,与式(9)的证明相似,可得

‖Tu‖≥‖u‖, ∀u∈∂Ωr

(11)

3 结 语

本文利用Banach空间中范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理,得到了系统(1)正解的存在性。主要把二阶微分方程推广到n维系统,同时克服了由于权函数变号带来的困难,得到了系统(1)存在一个正解。

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