空调系统送风湍流分形维数的研究★

王 倩 鲜沐希 程鹏月 张孟浩

(河北建筑工程学院，河北 张家口 075000)

1 概述

自然界和工程应用中出现的空气流动现象许多都是湍流，我们常见的空调送风现象就是一种湍流运动。湍流的运动是相当复杂、极不规则的，长久以来，科研者们利用经典物理学的观点和方法对湍流运动进行分析，一直未取得重大的突破，其根本原因在于湍流运动具有明显的非线性特征。非线性的分形学为湍流找到了一个新的研究方向，而分形维数能够直观上反映出分形体的“不规则”程度。对分形体而言，分形维数越大，分形体就越复杂、越不规则，反之则亦然[1]。本文采用盒维数的定义和方法通过确定速度信号的分维数来研究室内空调系统送风的湍流分形维数。

2 实验及数据测量

2.1 实验测试模型

实验房间物理模型如图1所示，该实验房间位于地上2楼，内外墙及顶层保温良好。房间尺寸为：长×宽×高=8.0 m×8.0 m×3.9 m，房间面积为64 m2。空调位于房间中心位置处，距地面高度为3.3 m，空调额定制冷容量为11.2 kW，额定制热容量为12.5 kW，机器尺寸为246 mm×840 mm×840 mm，装饰面板尺寸为50 mm×950 mm×950 mm，空调送回风方式为四面送风，中间回风，出风口的风度为3.0 m/s。

2.2 实验测点布置及方法

空调送风方式为上送上回，内外窗密闭性良好，故测点布置在其中一侧，测点平面布置如图2所示，每个测点间隔为60 mm，分别布置在距离空调出风口150 mm，300 mm，450 mm处，速度测点共计15个。实验采用多点风速仪(SYSTEM 6242)测速，该仪器结构灵活、简单，多点测试更加充实、方便。利用多点风速仪得到各点3 000组瞬时速度，每组速度的采样时间间隔为0.1 s，同一高度处采集到的速度样本为5个，共15个。

2.3 实验结果与分析

利用多点风速仪可以得到15个样本点3 000组的瞬时速度，对得到的数据进行分析。外部突发状况的干扰或者实验装置本身的故障问题可能会导致实验结果的准确性降低，所以我们认为当速度出现很大的脉动值时是不真实的，予以剔除。如图3，图4所示为其中两个样本点的速度信号图。

由图3，图4可以看出速度的时间序列呈现出不规则的振动状态，且速度的分布是十分混乱没有规则的。这些杂乱无章的曲线包含了湍流运动的大量信息，如果仅从统计理论出发，将湍流描绘成连续、光滑的曲线，就会错失大量的湍流运动规律。为此我们引入分形的概念，并用分形维数来描述速度信号的不规则、波动程度。

3 分形维数的计算及分析

3.1 盒维数

维数是几何对象的一个重要特征量，它代表描述几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标数目[2]。欧氏几何中的对象用整数维来描述，点的维数是0，线的维数是1，面的维数是2，体的维数是3。分形几何是以复杂的、非规则的几何形态、行为或现象为研究对象。分形认为，只有用非整数维数的尺度去度量它，才能恰好地反映其不规则性和复杂程度，这种非整数值的维数统称为分形维数[3]。本文采用盒维数的定义和方法通过确定速度时间信号的分形维数来研究空调系统送风湍流的分形特征。

盒计数维数的定义如下[4]：

设F是Rn空间的任意非空有界子集，r为用来覆盖测量对象的盒子的边长，对于任意的一个r>0，N(r)为用来覆盖F所需要的盒子数。如果存在D，使得r→0时，有：

N(F)∝1/rD

(1)

那么称D为F的盒计数维数(盒维数)。盒维数为D，当且仅当存在一个整数k，使得：

(2)

对式(2)两边取对数，得：

(3)

进一步求得：

(4)

3.2 速度时间信号的分形维数

计算盒维数的步骤：

第一步：根据多点风速仪测量结果，绘制出速度在时间上的分布曲线。第二步：分别用边长为rm，m=1，2，…，M的方格网分割速度分布曲线，并数出含有曲线的方格数Nm(r)，见图5。第三步：在以-logr为横坐标，以logN(r)为纵坐标的双对数坐标系中描出点(logrm，logNm(r))，这些分布点的斜率即为该速度信号线的盒维数。

根据计算盒维数的步骤，编写MATLAB程序，计算15个样本点的速度信号在时间上的分形维数。下面是距离风口150 mm处的一个样本的湍流瞬时速度的时间序列及其对应的分形维数测量结果，见图6，图7。

利用上述方法可以得到15个样本点的分形维数分别为1.699 3，1.690 2，1.722 3，1.678 0，1.645 1，1.678 0，1.671 4，1.707 0，1.669 2，1.645 1，1.628 6，1.616 7，1.659 6，1.630 7，1.614 9。由此可以看出本实验中速度时间信号的分形维数在1.60～1.73之间。分形维数可以用来描述速度信号的不规则、波动程度，上述计算的分形维数反映了一段时间内湍流脉动的局部特征。

3.3 速度信号分形维数的分布

通过上述对速度时间信号分形维数的分析研究，我们发现同一高度样本点的分形维数并不相等，下面对不同高度的速度时间信号的分形维数进行分析。

通过对距离风口不同高度处的速度时间信号分形维数分布(如图8所示)的分析，可以知道，同一高度样本点的分形维数从中间位置向两侧逐渐降低，这说明中间位置样本点的不规则、波动程度大于两侧，样本速度的波动程度从中间向两侧逐渐趋减小。另外近回风口一侧的分形维数呈现增大的现象，说明本实验中回风气流可能导致局部空气的波动，从而导致分形维数的增大。距离风口不同高度处的速度时间信号分形维数的分布趋于一致。

4 结语

本文利用MATLAB计算了各样本点速度信号的分形维数，发现实验中速度时间信号的分形维数在1.60～1.73之间。 通过对距离风口不同高度处的样本点速度时间信号分形维数分布的分析，可以知道，同一高度样本点的分形维数从中间位置向两侧逐渐降低，这说明速度的波动程度从中间向两侧逐渐趋减小，分形维数可以反映一段时间内湍流脉动的局部特征。

通过对湍流速度时间信号的分形维数的研究，我们可以看出分形维数能够更加直观、具体的反映湍流运动的脉动特征，这就为简化室内空气分布的计算提供了一定的参考。

参考文献:

[1] 罗世华.高炉冶炼过程的分形特征辨识和其应用研究[D].杭州：浙江大学，2006.

[2] 宁 吉.分形理论在微观图像处理中的应用研究[D].广州：暨南大学，2013.

[3] 贾 建.迭代函数系统与分形图形融合技术研究[D].西安：西北大学，2001.

[4] 朱 华，姬翠翠.分形理论及其应用[M].北京：科学出版社,2011.