立足教材重点，开展层次教学

李磊

[摘 要] 教育变革的深入开展，对高中数学的教学提出了新的要求，对数相关知识是高中数学的重难点，如何使学生深刻地理解教材内容并在此基础上拓展思路，则需要教师合理地编排教学设计. 本文以对数相关知识为例，开展多层次、多组合的教学，与同行进行教学研讨.

[关键词] 对数；概念；习题；多层次

对数概念以及相关知识是高中数学新的内容，但它是指数及其函数的延伸，指数知识对对数的学习有着重要的启示作用，在深入挖掘对数概念的基础上，需要教师结合习题开展综合性教学，通过多层次、多角度的学习加深学生对教材的理解，拓展学生的思路，培养相应的数学思想.

教学流程设计

1. 情境创设，引入新课

情景1：公元前350年，阿基米德发现了两个特殊的数列：1，10，102，103，104，

…；0，1，2，3，4，5，…. 他研究发现这两个数列的特征：上述数列存在一一对应的关系，第二个数列的其中两项之和与第一个数列对应的两项的乘积相对应，例如3+4=7对应于103×104=107.

情景2：现有一种放射性物质可以不断地变化为另一种物质，每经过1年，该物质的质量变为原质量的84%. 请写出该物质的剩余质量与时间的函数关系式.

设计意图：通过公元前的规律发现以及生活中的数学实例可以激发学生的求知欲，培养学生刻苦钻研的精神以及科学探究的态度，同时通过情景2的问题使学生体会到学习对数的重要性.

2. 合作讨论，初学对数

问题1：0.84x=0.5关系式中的x是否存在？讨论它的唯一性，借助之前的指数函数的知识加以说明.

问题2：可以由10x=1000解得x=3，由10x=10000解得x=4，那么10x=7中的未知数x又该如何表示？

设计意图：通过小组讨论引导学生运用已学习的指数知识解决新的问题，从中体会知识的联系性以及数形结合的数学思想，为之后的课题深入学习打下基础.

3. 引导探究，形成概念

问题：对于对数式b=logaN中的a和N有什么约束条件？

要求：请学生写出一些指数式，然后将其改写为对数形式，最后讨论发现.

结论：发现logaN中的a>0且a≠1，同时因对数是由指数转化的，可在运算中规定N>0.

定义：如果ab=N（a>0，且a≠1），则有b=logaN（a>0，且a≠1），b称为以a为底N的对数，其中a为对数的底，N为真数.

设计意图：对数的定义过于抽象，而通过联系学过的指数知识来对比学习可以使对数概念自然而然地被总结出来，使学生容易接受，另外通过讨论底数的范围，理解函数概念的合理性.

4. 实例学习，深入理解

问题：根据对数的定义以及对数与指数的关系，求解问题：设logaM=m，logaN=n（a>0，且a≠1，M>0，N>0），试用m，n表示出log（M·N）和logaMn.

参考答案：设loga（M·N）=x，则ax=M·N，由已知logaM=m，logaN=n可得am=M，an=N，则ax=am+n，可得x=m+n.

设logaMn=x，则ax=Mn；由logaM=m可得am=M，所以amn=Mn，则x=mn.

设计意图：以问题的形式学习相关知识，让学生带着问题去思考、分析、理解、最终解决问题，可以培养学生的解题思路，同时需要注意在设置问题时必须难度适中，符合学生的思维发展，不挫伤学生的积极性.

5. 典例讲评，变式拓展

考题：设函数f（x）=x-2ex-k（x-2lnx）（k为实常数，e=2.71828…），求解当k=1时，函数f（x）的最小值.

分析：對含对数的函数进行求导，判断ex-x2=0是否存在零点，分析函数的定义域，通过构造函数的形式研究原函数的最小值.

参考答案：当k=1时， f（x）=x-2ex-x+2lnx（x>0），对其求导得f′（x）=. 当x>0时，ex>x2，可变形为x>2lnx. 设φ（x）=x-2lnx，φ′（x）=1-=. 令φ′（x）=0，x=2. 当02时，φ′（x）>0，因此φ（x）=x-2lnx在x=2处取得最小值φ（2）=2-2ln2>0，因此当x>0时，x>2lnx，有ex>x2. 于是当02时，f′（x）>0. 所以f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，在x=2处取得最小值f（2）=-2+2ln2.

设计意图：通过教师对例题的示范讲解，引导学生运用对数的相关知识解决实际问题，进一步理解对数的定义以及性质等，同时将对数与导数知识相结合，让学生感受知识间的联系性，为以后解决综合性问题打下基础.

变式：已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1.

（1）如果xf′（x）≤x2+ax+1，求解a可以取到的值；

（2）证明（x-1）f（x）≥0.

分析：对于第（1）问可以先对f（x）进行求导，xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，可构造函数g（x）=lnx-x，在其定义域内进行分类讨论即可. 第（2）问由基本的对数不等式ln（1+x）

设计意图：通过求解不等式与对数函数的综合性问题，使学生学习求解对数问题的具体方法，体会对数定义以及性质在求解实际问题中的重要性，巩固知识，拓展思维.

教学立意的进一步解读

1. 重视概念，揭露本质

新概念生成的过程必须是从感性认识到理性认识的过渡和发展，如何让学生建立感性的认识就需要教师在教学设计时恰当合理地创设教学情境，让学生的思维在自然而然中完成过渡. 同时概念是对对象本质的一种特定反映，学生通过探究获得启示从而在理解的基础上学习对数的定义，更有利于今后的深入学习，特别需要注意对概念中所包含的关键词进行深入解读剖析. 围绕对数的概念与指数进行对比学习，通过讨论、分析、发现的学习过程可以使学生深入地理解对数概念的重要内涵. 知识的学习是相联系的，掌握对象的本质才可以实现对知识的升华.

2. 精选习题，优化教学

课堂教学要有计划、形式多变、多层次、多角度的训练，提升学生的能力离不开习题的讲解，但习题的选取并不能简单随意，需要教师认真地研读教材和大纲，准确把握习题的层次和难度，然后根据学情加以灵活安排，力求做到习题的排设符合教学要求，将知识方法和变式运用紧密结合起来，实现课堂的精讲、精学. 目前我们使用的教材倡导开放、创新，所以在教学中在注重基础教学时还应该结合习题开展变式，拓展思维. 教材是教学的基础，教学中需要教师认真研读教材，将其转化为利于学生吸收的知识，同时对教材进行拓展，合理地利用习题教学，联系生活实践对教学内容进行调整，实现教学质量的提升.

写在最后

上述对对数相关知识的教学设计，是多种形式、多组合的编排，融合了多种教学理念，是基于教材重点的追求知识系统性、整体性的设计，同时也特别注重知识间的相互联系，综合考虑了学情，符合学生的认知，这样的设计更有利于学生理解和接受新知. 习题的结合教学，对于学生的转化使用、思维拓展也起到了良好的学习效果.