自适应非张量积小波紧框架图像去噪

黄素莹,羿旭明

(武汉大学数学与统计学院,湖北武汉 430072)

1 引言

图像去噪是进行图像处理的前提,作为一项基础性工作,许多学者对图像去噪方法进行了大量的研究实验.在众多方法中,对图像在频域进行阈值量化的去噪效果得到学者们的广泛认可[1−3,6].它的主要思路分为两步,第一步是选用分解工具,将图像分解至频域,第二步是选取适当的阈值和阈值函数,在频域对图像进行阈值量化.其中,针对第一步,先后有学者提出了小波分解、小波包分解、最优小波包分解等方法,均能达到一定的去噪效果,但它们分解的方向性比较有限,使得去噪过程对图像的细节和边缘信息缺少保护,得到的去噪后图像往往过于模糊.之后,Ron和Shen[4,5]提出了基于酉延拓定理(UEP)的非张量积小波紧框架分解思想,王等[6]在此基础上构造了16个基于二元三次样条函数的非张量积小波紧框架数字滤波器,其分解可以包含更多的方向信息,能较好地保护图像的细节和边缘,但他们在后半部分的阈值选择上不尽理想,因此去噪效果还有提升空间.而针对阈值和阈值函数的选选取,研究文献中先后提出了VisuShrink、NeighShrink和NormalShrink等自适应阈值算法[1,2]和相应的软硬阈值函数,均能够达到很好的去噪效果,在研究中被广泛接受.

本文在文献[6]的基础上,构造了基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架,基于香农熵采用最优分解层数自适应确定方法,并结合NormalShrink自适应阈值算法,在噪声方差估计方法上做相应的改进,增强了算法的自适应性,由此形成本文的自适应非张量积小波紧框架图像去噪算法.

2 非张量积小波紧框架的构造

UEP最早由Ron和Shen[4,5]提出,王等[6]进一步讨论了其推广和应用,并给出了如下定理.

定理2.1(UEP准则)设φ∈L2(R2)为一个具有紧支撑的细分函数,满足

若{h1,h2,···,hr}是一组有限序列集合,其对应的傅立叶变换(ξ)(l=1,2,···,r)均可测和本性有界,且对任意的ν∈{0,π}2(0,0)和ξ∈[−π,π]2,满足

定义函数族则小波系

形成L2(R2)的一个小波紧框架.

满足定理2.1的细分函数φ生成L2(R2)的多分辨分析

且对任意的f∈L2(R2),有

其中 {〈f,φk,j〉,〈f,ψl,k,j〉,l=1,2,···,r}k∈Z为框架系数.

记根据公式 (2.2) 可以导出如下基于小波紧框架的分解和重构公式[6]

利用光滑余因子协调法[7−8],构造样条空间中的二元六次样条函数B(x,y),它的支集中心位于点且关于支集中心对称,其傅立叶变换为

当取φ(x,y)=B(x,y)时,φ(x,y)满足定理2.1的条件,其符号为

从而得到由a,b,c,d表示的81个符号为

进而得到对应的一组81个数字滤波器hl(l=0,1,···,80),如下所示

3 自适应非张量积小波紧框架图像去噪算法

3.1 最优分解层数的自适应确定

文献[6]推广的基于二元三次样条函数的非张量积小波紧框架分解,采用预先确定分解层数的方法,这样导致去噪算法缺乏自适应性.本文在基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架分解过程中,采用自适应确定最优分解层数的方法,通过计算每一次分解之后母带与各子带的“价值函数”,来确定是否保留此次分解.当母带的“价值”大于各子带的“价值”之和时,保留此次分解并继续下一层分解,否则摈弃此次分解且分解过程结束.

对于“价值函数”的选择,本文通过实验比较,选用香农熵作为“价值函数”,其计算公式为

其中D是母带或者各子带对应的系数矩阵,di是矩阵元素.

3.2 自适应阈值的确定

本文基于去噪效果考虑,在NormalShrink自适应阈值算法上,针对噪声方差σ2η的估计做了相应的改进,形成本文的自适应阈值算法.NormalShrink自适应阈值公式为

由于去噪后图像系数和噪声系数是相互独立的,因此有其中是去噪后图像中第j层第i个高频子带的方差.

图像经过分解至频域之后,噪声信息大多保留在高频子带,而这些高频子带的方差可以看作是噪声方差与去噪后图像方差的相加.因此本文选取第1层分解之后的80个高频子带,分别计算其方差然后取其中最小值,并将其作为噪声方差的估计,即

3.3 自适应非张量积小波紧框架图像去噪算法

上文构造的基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架具有81个二维滤波器,对图像进行分解时可以获得高频部分80个方向上的信息[6],从而为图像的处理提供了多通道上的信息,因此,在降噪过程中,更有利于刻画图像的细节和边缘,便于后续的处理.通过自适应确定最优分解层数和阈值,进一步增强了算法的自适应性.

自适应非张量积小波紧框架图像去噪的具体算法如下.

步骤1对于原始的灰度图像I0,利用小波紧框架分解公式(2.3)实现图像的第1层分解,得到第1层的近似系数D1和80个方向的细节系数,计算由公式(3.2)得到噪声方差估计;

步骤3针对上述各层80个方向的细节系数,计算和βj,并运用公式(3.1)计算Tij,再对每层基于相应的阈值和软阀值方法进行阈值量化,得到新的细节系数;

步骤4基于新的细节系数和末层的近似系数,利用小波紧框架重构公式(2.4)实现图像的重构,得到去噪后的图像I1.

4 图像去噪的实例与结果分析

表示均方误差,n是图像的总像素个数,I0(k)和I1(k)分别表示去噪前后的图像像素灰度值.

分别利用sym4小波(sym4_w)、db4小波(db4_w)、sym4小波包(sym4_wp)、db4小波包(db4_wp)、基于二元三次样条函数的非张量积小波紧框架(23_ntptwf)和本文基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架(26_ntptwf)对图像进行去噪(其中前4种的分解层数为3层,选用NormalShrink自适应阈值算法;23_ntptwf的分解层数为2层,26_ntptwf经自适应确定最优分解层数为1层,采用本文改进的NormalShrink自适应阈值算法),其去噪效果如图1所示,PNSR值如表1所示.从以上方法的去噪效果可以看出,sym4_w、db4_w、sym4_wp和db4_wp方法在去除噪声的同时,缺乏对图像细节和边缘的保护使得去噪后的图像过于模糊,23_ntptwf去噪效果有所改善.而利用本文所构造的26_ntptwf去噪,数值结果显示,去噪效果优于前四种方法,其PNSR值也高于23_ntptwf.

针对本文提出的非张量积小波紧框架的最优分解层数自适应确定方法,为了显示其有效性,除了自适应确定的最优分解层数1层,再分别选择分解层数为2、3、4、5层,同时运用基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架和本文改进的NormalShrink自适应阈值算法进行去噪,其效果如图2所示,PNSR值如表2所示.可以看出,本文自适应确定的最优分解层数对应的去噪效果和PNSR值都优于其它分解层数.

图1:几种方法的去噪效果对比

图2:不同分解层数与最优分解层数的去噪效果对比

表1:几种方法去噪的PNSR值对比

表2:不同分解层数与最优分解层数去噪的PNSR值对比

5 结语

本文针对图像的去噪,构造了基于二元六次样条函数的非张量积小波紧框架,而在框架分解层数和阈值的选取上,分别提出了基于香农熵自适应确定最优分解层数的方法和基于改进的NormalShrink自适应阈值算法,提高了算法的自适应性,在保证去噪效果的同时,实现了对图像细节和边缘的更好保护.

参考文献

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