完备Brouwerian格上矩阵方程的极大解问题

2018-05-21 11:24黄新宇

皖西学院学报 2018年2期

关键词：学报定理定义

黄新宇，岳芹

(皖西学院金融与数学学院，安徽六安 237012)

1 预备知识

讨论完备Brouwerian格上∧-→型矩阵方程极大解的存在问题。先给出相关概念。

定义1.1设(P，≤)是一个偏序集，a∈P，若对∀x∈P，只要x≥a，就有x=a，则称a是P的一个极大元。

定义1.2如果格L满足：对∀a,b∈L，满足a∧x≤b的最大元x存在，则称L为完备Brouwer格，记该最大元为a→b。

下面是一个Brouwer格的例子。

例1.1①设N为非负整数构成的集合，a,b∈N，定义a≤b当且仅当a|b，则(N，≤)是一个完备格，其中a∧b=g.c.d{a,b}，a∨b=l.c.m{a,b}，g.c.d与l.c.m分别表示a与b的最大公因子与最小公倍数。再定义a→b=l.c.m{x∈N:a∧x≤b}，则L=(N,∧,∨,≤)是一个Brouwer格，0与1分别是L的最大元与最小元。

下面所讨论的格L，如无特殊说明，均指完备Brouwer格L。

L上的∧-→型矩阵方程有以下三种基本类型②：

第一类：已知A=(a1,a2,…,an)，b∈L，确定X=(x1,x2,…,xn)T使

A*X=b

(1.1)

成立。记χ°={X：A*X=b}。

第二类：已知A=(aij)m×n，B=(b1,b2,…,bm)T，确定X=(x1,x2,…,xn)T使

A*X=B

(1.2)

成立。记χ1= {X：A*X=B}。

第三类：已知A=(aij)m×n，B=(bik)m×r，确定X=(xjk)n×r使

A*X=B

(1.3)

成立。记χ2= {X：A*X=B}。

2 三类方程有解的充要条件及其它们之间的关系

引理2.1[1]方程(1.1)有解，即χ°≠φ当且仅当AT°b∈χ°，且对∀x∈χ°，x≥AT°b。这里AT°b=(a1∧b,a2∧b,…,an∧b)。

为了引入下面的引理，先引入一个记号。

证明：(1)显然成立，下证(2)。

充分性显然，仅证必要性

方程(1.3)等价于r个无关的方程[4]

A*(x1k,x2k,…,xnk)T=(b1k,b2k,…,bmk)T，

k=1,2,…,r

证明：显然。

3 极大解的存在情况

我们已经在有解的情况下，给出了L上∧-→型矩阵方程的最小解的表达式，如果对方程的每一个解还能找到一个大于等于它的极大解，则方程的整个解集便可完全确定。但下面这个例子说明了L上∧-→型矩阵方程的解集即使非空，对于方程的每一个解也不一定能找到一个大于等于它的极大解。

例3.1设L是如例1.1中的完备Brouwerian格，A=(0,0),b=3，则对方程(1.1)的每个解X，并不都能找到一个极大解X*，使得X*≥X。

证明：显然X=(6,9)T是方程(1.1)的解。假设存在极大解X*=(x1,x2)T，使得X*≥X，则有 (0→x1)∧(0→x2)=3，所以x1=3a,x2=3b，其中a,b为自然数，且(a,b)=1。因为(a,b)=1，6|3a，所以b必为奇数。这样 (2a,b)=1。所以(2x1,x2)=3(2a,b)=3，从而X**=(2x1,x2)T∈χ°，且X*>X，与X是χ°的极大元矛盾。

4 方程(1.1)有极大解的充要条件[5]

本节在χ°非空时，给出L上方程(1.1)的每一个解都存在一个大于等于它的极大解的充要条件。先给出如下的引理。

定理4.2如果χ°≠φ，X∈χ°，则存在χ°的一个极大元X*满足X*≥X的充要条件是存在L的有限子集B满足

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(1)∧B=b，其中∧B表示B中所有元素的交；(2)∀p∈B，若p≠1，则b≠∧(B/{P})；