盛水玻璃杯共振频率的研究*

戴诗琪 林美妤 邓 欣 黄 敏

(四川省成都市新都一中铭章学院 四川 成都 610500)

赵芸赫

(北京师范大学物理学系 北京 100875)

酒杯一部分盛满液体，暴露于扬声器的声音下会产生共振．这个问题来源于2017年IYPT(国际青年物理学家锦标赛)的赛题，也是中学物理中用来演示共振的经典现象．而对于其共振频率的定量求解与实验验证却寥寥无几，因此，本文针对圆柱形玻璃杯容器及其盛水时的共振情况进行了模型建构，得到了空杯共振频率的定量表达式并用实验验证了理论的正确性．

对于A.P.French在文献[1]中给出的半满玻璃杯的公式，本文进行了空杯极限和满杯极限的解析分析，发现在盛水量较少时其频率与空杯频率接近，盛水量较多时其频率随着加水体积的增大而线性减小；对于同一玻璃杯，内盛液体密度越大，其共振频率越小．这些结论在本文的实验中也得到了验证．

1 模型建立

1.1 圆柱形玻璃杯振动模型

为简化问题，考虑一个密度为ρ圆柱形玻璃杯在平衡位置模式数为n=2的低阶振动．取半径为R，厚度为τ，高度为w的一段柱元，则圆柱上一段微元dm=ρ2πRτw的振动方程为

(1)

κ为微元的劲度系数，而根据文献[1～3]，我们知道如图1所示的环形圈在形变时的劲度系数为

(2)

图1 环形圈示意图

其中，α≈0.56，Y是圆柱的杨氏模量．则振动方程可化为

(3)

则r=r0cos(ωt+φ)，即圆柱横截面做简谐振动．易得

(4)

1.2 圆柱形盛水玻璃杯振动模型

根据A.P.French在文献[1]中给出的半满玻璃杯的公式

(5)

(6)

(7)

1.2.1 特殊情形讨论

(8)

因此式(5)可化为

(10)

上式表明，当空腔体积较小，即水较满时，发声频率是随着空腔体积的增大而线性增大的，或者随着水的增加而线性减小的．

2 实验验证

为了验证上述理论的正确性，本研究利用柱形玻璃杯和高脚杯等玻璃杯进行了盛水时和未盛水时两种情形下的共振实验．实验中采用的6个玻璃杯的参数如表1所示.

表1 玻璃杯相关参数

其中1,2,6号杯形状可以近似为一圆柱，3号杯为一香槟杯底端拐角部分较短上部可视为一圆柱面,4,5号杯为高脚红酒包络面类似一抛物面．

实验中我们通过敲击玻璃杯壁让其自由振动并用拾音器收集音频数据，接着用FFT(傅立叶变换)声音数据变换到频域空间找到主频，最终在Matlab中绘图对比理论和实验结果,例如经过FFT变换得到的其中一个频谱如图2所示.

图2 4号杯空杯发声频谱图

由图2可以看出，玻璃杯的频谱具有明显的共振频谱特征，在4号杯不加水时可以得到其共振频率为1 758 Hz．对于其他实验用玻璃杯在加水不同情况下得到的数据均按照该方法分析，故不在此一一列出．

2.1 空杯共振实验

实验采用了6种不同型号的玻璃杯，当玻璃杯内未盛水时，敲击玻璃杯壁，收集音频，通过数据处理找到共振频率，并绘制空杯共振频率实验与理论符合结果，如图3所示．

从图3中可以看出，实验与理论基本吻合，其中，编号为1，2，6的玻璃杯为圆柱形玻璃杯或接近圆柱形玻璃杯，编号为3，4，5的玻璃杯为高脚杯，可以看到，1，2，6号空杯共振频率的理论预测值与实验测定值符合很好，3，4，5号空杯共振频率的理论预测值与实验测定值之间有一定偏差，但误差较小，说明该理论可以很好地解释圆柱形玻璃杯的共振现象，对于非圆柱形玻璃杯，如高脚杯状的玻璃杯的共振现象，也可从半定量角度予以解释，定量结果误差较小，验证了理论的可行性．

图3 6种玻璃杯未盛水时共振频率理论与实验符合结果

2.2 盛水玻璃杯的共振实验

接着利用这6种玻璃杯继续探究了共振频率与水位高低之间的关系，特别地，对于圆柱形玻璃杯，液体高度与玻璃杯高度之比和液体体积与玻璃杯体积之比相等．实验中水位高低是通过量筒控制加入水体积来实现的，6只玻璃杯的实验结果如图4所示．

图4 不同玻璃杯共振频率与水位高低的关系

由图4可以看出，在加水体积达到一定值后，其发声频率与空腔体积近似成一线性关系；在加水体积达到一定值前，其发声频率趋于一定值；同时，图像的斜率符合上述理论分析，即当加入少量水的时候，杯子的发声频率与空杯大体一致；当水较满时，发声频率是随着水的增加而线性减小的．

其中4号杯、5号杯为同一批次同款玻璃杯，从图中可以看出频率随着加水量变化的曲线几乎重合，除了4号杯有3个点的频率在加水体积150 ml附近处突然增高，可以认为这是由于该玻璃杯在那一水位附近的厚度出现了较大变化所致，故在后文中的理论实验对比部分，我们采用5号杯的数据．

各玻璃杯加水频率的实验结果与理论模拟结果相匹配的结果如图5所示．

图5 不同玻璃杯共振频率与水位高低关系的理论与实验比对图

由图5可以看出，对于1,2,6号杯而言，由于其外形可视为圆柱，故盛不同水量时的共振频率的实验测定值与理论值符合很好，而5号高脚杯的相应实验结果在水量多时与理论有一定偏差，在水量较少时与理论符合较好，几乎等于空杯频率．而3号香槟杯的曲线虽然底部有一定拐角，但是拐角范围很小，而这一范围内加水频率几乎为空杯频率，随着水量的增加，其形状可以视为圆柱，故实验结果与理论也符合很好．

2.3 盛不同密度溶液的玻璃杯的共振实验

利用3号杯盛不同密度液体进行玻璃杯的共振实验，其中不同密度的溶液是利用氯化钠配置的密度分别为1.1 g/cm3，1.2 g/cm3，1.3 g/cm3的溶液．实验结果如图6所示．盛有不同密度溶液的玻璃杯的共振频率随空腔体积变化的规律与理论预测曲线相符，对于同一玻璃杯，内盛溶液密度越大，其共振频率越小，与式(5)预测的趋势相符．

图6 盛有不同密度的氯化钠溶液的玻璃杯的

共振频率随空腔体积的变化曲线通过上述实验我们发现，本研究的理论可以较好地计算空玻璃杯的固有频率．对于盛水的圆柱形玻璃杯的频率，A.P.French在文献[1]中给出的公式可以较好地描述；对于非圆柱形玻璃杯，这一公式在水量较多时误差较大．

除此之外，由于不同的玻璃杯的自身参数不同，即会影响其固有频率，进而导致共振频率不同，会造成一定的实验误差．

3 结论

本文分别从理论和实验两个角度对玻璃杯共振现象进行了问题求解，给出了圆柱形玻璃杯未盛水时及盛水时模式数为2 的振动情形下的共振频率的定量表达式，并得到如下结论：

(1)未盛水的圆柱形玻璃杯的共振频率正比于圆柱的壁厚度；

(2)未盛水的圆柱形玻璃杯的共振频率反比于圆柱的横截面积；

(3)当加入少量水的时候，杯子的发声频率与空杯大体一致；

(4)当空腔体积较小，即水较满时，发声频率随着空腔体积的增大而线性增大的，或者随着水的增加而线性减小．

最后对6种不同型号的玻璃杯在不同情形下(如注水体积等)进行了共振频率的测定，然后利用同一玻璃杯盛不同密度的氯化钠溶液进行了玻璃杯的共振实验．其中玻璃杯的共振频率随空腔体积变化的规律与理论预测曲线相符，对于同一玻璃杯，内盛溶液密度越大，其共振频率越小，与理论预测趋势相符，即通过定量实验验证了理论的正确性．

参 考 文 献

1 A.P French.In Vino Veritas-A study of wineglass acoustics.Am.J.Phys,1983,51(8)

2 Eunjin Yang,Ho-Young Kim.Jumping hoops.American Journal of Physics,2012, 80: 1

3 A.E.H.Love,M.A.D.Sc.A treatise on the mathema-tical theory of elasticity.Second Edition.The University Press,1906.267～268

4 马宇翰,马欣然,李融武,等. 弹性箍弹起最大高度的研究.大学物理,2015(01):57～61