基于改进模糊滑模控制的机械臂运动轨迹仿真

李爱民,王启广

(1.江苏建筑职业技术学院 机电工程学院,江苏 徐州 221116; 2.中国矿业大学 机电学院,江苏 徐州 221008)

随着制造业的快速发展,工业机械臂控制技术得到了很大改进.根据机械臂承载能力的大小可以将其划分为大型、中型和小型3类[1].大型机械臂通常适用于装配、码垛及搬运等场合;中小型机械臂通常适用于检测、喷漆及焊接等场合.中小型机械臂因具有体积小、精度高、质量轻及控制可靠等优点在生活中广泛应用.与发达国家相比,我国机械臂技术的发展起步较晚,控制系统不稳定,容易受到外界因素的干扰,造成机械臂运动轨迹精度下降[2].为了尽快赶上发达国家机械臂控制技术水平,研究机械臂稳定控制技术具有重要的意义.

机械臂在复杂环境中工作时,其运动轨迹的精确定位尤其重要.目前,国内外许多学者对机械臂控制方法展开了研究.例如,文献[3-5]采用粒子群算法对机械臂PID控制进行改进研究,建立了平面欠驱动机械臂模型,在机械臂末端采用了PID控制器,应用粒子群算法对PID控制参数进行了优化,并且将优化结果进行了仿真,相比传统控制方法,机械臂跟踪效果较好.文献[6-7]采用模糊鲁棒控制对机械系统进行了研究,建立了多关节机械臂动力学模型,分析了模糊自适应控制基本原理,设计了模糊补偿自适应控制方法,利用李雅普诺夫函数对模糊逼近误差稳定性进行了证明,运用仿真软件对双关节机械臂进行跟踪误差仿真,从而改善了机械臂控制的性能.文献[8-9]采用混合控制研究机械臂的定位和振动问题,设计带滤波器的混合闭环控制系统,采用系统输出等于系统参考的约束条件,能够快速地实现机械臂关节的准确定位和振动抑制,提高了机械臂定位精度和工作效率.但是,以往研究的机械臂角位移跟踪都是在没有外界干扰因素状态下进行仿真验证的,在现实中应用较少.对此,本文给出了多关节机械臂动力学微分方程式,分析了机械臂运动特性,定义了关节运动的角位移误差函数,推导了模糊滑模控制方法,应用改进粒子群算法对模糊滑模控制进行优化,给出了改进模糊滑模控制的具体过程.以双关节机械臂为具体实例,采用Matlab软件对双关节运动的角位移和输入转矩进行仿真,并与滑模控制方法形成对比,为机械臂准确定位的深入研究提供了参考.

1 多关节机械臂动力学

对于n关节的机械臂,其动力学可以由二阶非线性微分方程式[10]表示如下:

(1)

式中:q(t)∈Rn为机械臂的关节角;q′,q″分别为机械臂关节角速度和角加速度;D(q)∈Rn×n为正定惯性对称矩阵;Vm(q,q′)q′∈Rn为哥氏力和离心力矢量函数;G(q)∈Rn为重力矢量函数;Fd∈Rn×n为黏性摩擦对角矩阵;Fs(q′)∈Rn为非结构化摩擦向量;Td∈Rn为外部随机干扰项;τ(t)∈Rn为控制力矩.

机械臂的动力学特性[10]如下.

(1)D(q)是正定对称矩阵,且存在可逆矩阵D-1(q).

(2)D(q)′-2Vm(q,q′)是一个斜对称矩阵,满足以下关系式:

(2)

2 机械臂控制

2.1 逆动态控制

多关节机械臂控制轨迹跟踪的目标是实际角位移q尽可能跟踪理论的角位移qd∈Rn.为了缩小轨迹跟踪误差,控制输入[11]为

(3)

式中:D1(q),Vm1(q,q′),G1(q),Fd1和Fs1(q′)分别为D(q),Vm(q,q′),G(q),Fd和Fs(q′)的已知部分;V(t)为新的控制向量.

将式(3)代入式(1)得

(4)

式中:ΔVm(q,q′)q′=Vm1(q,q′)q′-Vm(q,q′)q′;ΔG(q)=G1(q)-G(q);ΔFd=Fd1-Fd;ΔFs(q′)=Fs1(q′)-Fs(q′).

令η=[D-1(q)D1(q)-1]V(t)+D-1(q)·[ΔVm(q,q′)q′+ΔG(q)+ΔFdq′+ΔFs(q′)-Td],则

(5)

定义新的控制V(t)为

(6)

将式(6)代入式(1)得

(7)

定义关节角位移误差e(t)=X1(t)和e′(t)=X2(t),根据式(7)得

(8)

2.2 机械臂滑模控制

在设计滑模控制前,先定义滑模面[12]：

(9)

式中:C为常数系数.

在滑模控制设计中,W(t)控制输出路径包括等效控制We(t)和开关控制Ws(t)两个部分:

(10)

在滑模阶段,S(t)=0和S′(t)=0,等效项We(t)的目的是使系统保持在滑模表面上.在接近阶段,S(t)≠0,开关控制项需满足S(t)S′(t)<0.

由S′(t)=0,可得

(11)

在等效项控制设计中,假设滑模表面是零,因此,We(t)的目的是预防滑模表面发生变化.根据这个假设,在这部分设计过程中,Ws(t)=0,可得

(12)

因为

(13)

所以,We(t)可以假定为

(14)

Ws(t)的设计方式是滑模表面趋于零,根据李雅普诺夫函数[13]可得

(15)

对式(15)求导后得

(16)

由式(9),(10),(11),(14)可得

(17)

因此,V′[S(t)]≤0.

2.3 T-S模糊滑模控制

T-S模糊滑模控制是基于直接反馈控制策略,因此,模糊推理规则[14]建立为

若S(t)>0,则W(t)=We(t)+Ws(t);

若S(t)<0,则W(t)=We(t)-Ws(t).

采用重力消除法,系统控制W(t)为

(18)

3 改进模糊滑模控制

3.1 改进粒子群优化

粒子群算法是一种并行算法,简称为PSO,在对动物集群活动行为观察基础上,利用群体中的个体对信息的共享,使整个群体运动从无序到有序,从而达到最优解[15].在粒子群优化中,任何被提名的解决方案都被命名为“粒子”,蜂群中的每一个粒子都显示出一个被提名的解决方案,如果这个解决方案是由一系列变量组成的,那就是粒子可以是变量的向量.在粒子群优化中,每个粒子都是通过多维搜索空间,基于自身和整体来调整其在搜索空间中的位置.然后,粒子利用自身的最佳位置和它的邻域来定位一个最优解.根据优化问题的成本函数,可以对每个粒子的适当性进行评估.每一次重复,每一个粒子的速度将被计算如下[15]:

(19)

式中:xi(t)为粒子的当前位置;Pid为个体粒子最优位置;Pgd为所有粒子中最优位置;ω为惯性权重系数;c1，c2为0和2之间学习因子;r1，r2为在[0,1]的随机数.

计算速度后,每一个粒子的新位置计算如下:

(20)

本文采用改进权重系数,从而平衡粒子群整体和局部的搜索能力,改进后的惯性权重系数为

(21)

式中:r为一个均匀分布的随机数,在[0,1]区间.

3.2 改进模糊滑模控制过程

根据上述讨论,机械臂的模糊滑模控制器的设计过程如下:

(1) 定义D1(q),Vm1(q,q′),G1(q),Fd1和Fs1(q′)的已知部分D(q),Vm(q,q′),G(q),Fd和Fs(q′),然后指定它们的上界和下界;

(2) 指定机械臂关节运动轨迹路径;

(3) 定义跟踪误差变量;

(4) 选择正的常数系数C作为滑模控制面S(t)的向量;

(5) 采用式(14)得出We(t);

(6) 设计T-S模糊模型控制法则W(t)和相关的模糊隶属函数;

(7) 通过选择模糊隶属函数的参数来优化适应度函数;

(8) 建立模糊推理规则基础;

(9) 将模糊变量通过重心法进行模糊化,得到控制规律W(t);

(10) 通过使用式(3)指定机械臂操作器的输入控制.

4 机械臂运动轨迹仿真及分析

为了验证改进模糊滑模控制器的性能,本文将上述控制器应用到双关节机械臂上,如图1所示.

机械臂运动轨迹误差采用Matlab软件进行仿真验证,机械臂运动仿真参数如下所示:机械臂理论运动角位移为q1=q2=0.8cos(πt/2) rad,机械臂初始位置为q(0)=[0 0]T,滑模控制参数为K=diag{30,30},种群大小为50,最大迭代次数为200,学习因子为c1=c2=1,外界干扰参数为Td1=Td2=1.2cos(πt) rad,机械臂长度l1=l2=1.0 m,m1=1.2 kg,m2=0.6 kg,g=9.8 m/s2,Fd1=Fd2=1,Fs1=Fs2=1,仿真时间为t=8 s.假设外界没有干扰因素,分别采用改进模糊滑模控制、滑模控制的机械臂运动角位移和输入转矩仿真结果，如图2所示.假设外界有干扰因素,分别采用改进模糊滑模控制、滑模控制的机械臂运动角位移和输入转矩仿真结果，如图3所示.

图1 双关节简图模型Fig.1 Double joint sketch model

根据图2仿真曲线可知,在理想状态下(外界没有干扰因素),分别采用改进模糊滑模控制和滑模控制方法,机械臂运动角位移的跟踪效果很好,两种控制方法差别不大.但是,采用滑模控制方法,机械臂输入力矩跳动幅度较大,振动现象较为严重.因此,采用改进模糊滑模控制方法效果较好.由图3仿真曲线可知:在实际状态下(外界没有干扰因素),采用改进模糊滑模控制方法,机械臂运动角位移的跟踪效果很好;而采用滑模控制方法,机械臂运动角位移跟踪误差较大,同时,采用滑模控制的输入力矩跳动幅度更大,振动现象更加严重.综合对比后可知,机械臂运动角位移采用改进模糊滑模控制方法,能够适应实际情况,抑制外界因素的影响,提高机械臂关节的定位精度.

图2 双关节角位移和力矩仿真曲线(无干扰)Fig.2 Simulation curve of double joint angular displacement and torque (without interference)

图3 双关节角位移和力矩仿真曲线(有干扰)Fig.3 Simulation curve of double joint angular displacement and torque(with interference)

5 结语

本文采用了改进模糊滑模控制方法研究了机械臂角位移的跟踪误差.构造了多连杆机械臂动力学模型,分析了机械臂动力学特性.通过逆动态控制推导出模糊滑模控制方法,应用改进粒子群算法对控制方法进行优化,给出了改进模糊滑模控制方法的具体控制过程.以双关节机械臂为例,在Matlab软件中对机械臂运动角位移的跟踪误差进行仿真,并且与改进前的滑模控制方法进行对比分析.仿真结果显示,机械臂采用改进模糊滑模控制方法,能够抑制外界不确定因素的影响,机械臂角位移跟踪效果很好,振动幅度减弱.

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