运用类比和迁移帮助学生建立良好的数学认知结构

李丽英

所谓学生的数学认知结构就是指数学系统的内容在学生头脑中形成的系统的逻辑结构模式。学生的认知结构，学生学习数学过程中形成和发展起来的。小学生对数学知识的理解与掌握都必须凭借头脑已有的认知结构，因此，从这个观点看，在小学数学学习中，小学生对的数学认知结构是一个关键因素。

“分数工程问题”是分数应用题的一个特例。它反应的是工作总量、工作时间、工作效率之间三者相互关系，是整数工程问题的延伸。只不过分数工程问题中工作总量的具体数量不知道，用单位“1”表示工作量，用 工作效率，这是分数工程问题的基本特征。因此，我在教学分数工程问题时从学生原来的数学认知结构中找准新知识的生长点，运用类比迁移，达到以旧知识同化新知识的效果，并且把新知识纳入原来的数学认知结构。在练习中运用对比，变式等多种形式，不断完善，扩展原来的数字认知结构，使学生的心理不断地从不平衡，促使学生建立良好的新的数学认知和结构，结合自己在教学“分数工程问题”中谈谈具体的做法。

一、抓住新的知识的生长点，进行铺垫学习

由于工程问题比较抽象，学习往往感到不易理解，为了便于学习掌握，可通过简单的实例，使学生弄清如何表示全部工程和工作效率，目的是复习基本数量关系，为学习新知识做好铺垫。开始教学时，首先出示一组题目让学生练习：

（1） 说出工作总量、工作时间、工作效率三者的关系。

（2） 修一段30千米的公路，由甲工程队修建需要10天，甲队每天修多少千米？

（3） 修一段30千米的公路，由乙工程队修建需要15天，乙队每天修多少千米？

（4） 修一段公路，由甲工程队修建需要10天，甲队每天修几分之几？

（5） 修一段公路，由乙工程队修建需要15天，乙队每天修几分之几？

（6） 修一段30千米的公路，由甲工程队修建需要10天，由乙工程队修建需要15天，如果两队同时修，几天可完成？

第（6）题解答完后，再说明其数量关系，教师板书：

30÷ （ 30÷10 + 30 ÷15） = 6 （天）

甲工作效率 乙工作效率 = 工作时间

工作总量 ÷ 工作效率和 = 工作时间

这样，通过复习准备，唤起学生的旧知，为新知的构建做好铺垫。

二、运用类比迁移，进行新知教学

抽出上面复习题第（6）中工作总量的具体数量“30千米”

就得一道基本的分数工程问题应用题：“修一段公路，由甲工程隊修建需要10天，由乙工程队修建需要15天，如果两队同时修需要几天可完成？”我设计下列问题让学生进行自学分别讨论：

（1） 这道题的问题是什么？求这个问题用什么数量关系式？

（2） 工作总量的具体数量不知道，可把它看作是什么？

（3） 甲队的工作效率用什么表示？乙队的工作效率呢？

（4） 怎样求甲、乙两队工作效率的和？

学生通过讨论，发现当工作总量的具体数不知道的时候就可用单位“1”表示，

工作效率可以用1/工作时间来表示。这样，关键的问题解决了，就可以用旧知进行解题，实现了知识的类比和迁移。板书：

1÷（1/10+1/15）= 6（天）

解答完后，让学生对比分析，抽去“30千米”前后两道题的异同要求学生比较两题的变化量和不变。

变化量：修一段公路长度（具体数量）变化；

不变量：① 两队单独完成时间不变。

②计算公式不变；

③两队合修需要天数不变。

并引导学生思考解答分数工程问题的关键地方。

把工作总量用“1” 表示，

板书：关键 工作效率有1/工作时间表示

这样，通过一系列的教学，运用类比迁移，既完成了知识的同化，只将新知识纳入原来的数学知识结构中去，有利于学生主动建构数学认知结构。

三、进行巩固拓展练习，不断完善，发展原来的数学认知结构

教学实践告诉我们。虽然在新课过程中把新知纳入原来的数学认知结构，但是这样的联系还是不够紧密的，需要进行一定分量的练习，才能得到巩固、强化，所以在新课之后进行基本训练，目的在于巩固新知，强化学生的数学认知结构，并及时反馈学生掌握新旧情况。

另一方面，分数工程问题是从整数工程问题类比迁移过来的但是这两种应用题既有联系，又有区别。在练习中我设计一组对比训练：

（1）一条水渠全长150米，甲队单独修要10天完成，乙队修要15天完成，两队合修要多少天完成？

（2）一条水渠，甲队单独修要10天完成，乙队修要15天完成，两队合修要多少天完成？

目的在于沟通新旧知识之间的联系，使学生知道新知识在一定条件下可以转化。另外，让学生了解到当工作总量用具体数量，工作效率也应该用具体数量；当工作总量用“1”表示，工作效率也相应地用1/2工作时间表示。这样，学生的数学认知结构得到完善，充分发挥整体功能效应。

当学生的数学认知结构得此强化、完善后，为了培养学生的应变能力，逻辑思维能力，使学生的数学认知结构逐渐发展到能够适应复杂的知识学习。我设计一些变式练习和综合练习：

例题：“修一段公路，甲队独修需要10天，乙队独修需要15天”

（3）甲乙两队合修全工程的1/2，需要多少天？

（4）由丙工程队修需要12天，三队合修需要多少天？

（5）甲、乙两队合修两天后，还剩下工程的几分之几？

（6）甲、乙两队合修两天后，剩下的甲乙队单独修，还需多少天才能完成？

综合练习：

生产一批零件，甲单独做需10天完成，乙单独做需8天完成，丙单独做需20天完成。（只列式不计算）

（7）甲、乙、丙合做几天可以完成？

（8）甲、乙、丙合做完成这些零件的2/3，需要多少天？

（9）甲独做了3天后，剩下的乙、丙合做，还需几天？

（10）甲、丙合作三天后，剩下的由乙独做，还需几天？

在分数工程问题教学过程中，要从学生原来的教学认知结构出发，找准新知的生长点，运用类比迁移，把新知纳入原来的数学认知结构中，并且不断地强化、完善，发展原来的数学认知结构，形成新的数学认知结构，才能取得较好的教学效果。在这里值得一提是良好的数学认识结构不是一朝一夕可以形成的，要经过学生主动的学习，教师有意识的长期培养。