借助数形结合 优化问题解决

郑娟

摘 要：问题解决教学是小学数学教学中的重点内容及难点内容。小学生解决数学问题的过程是一个复杂的思维过程，数形结合能够把抽象的数学问题通过图形展现使之形象化，能够架起数学问题条件与答案之间的桥梁。基于此背景，本文对借助数形结合优化小学生数学问题解决的策略进行了探究，希望能够有一定的借鉴意义。

关键词：问题解决；数形结合

在小学数学教学中，培养学生的问题解决能力是十分重要的教学目标，因为小学生在解决数学问题的过程中，能够有效地调动自己的数学思维，经历数学探究的过程，感受到数学的应用价值。解决数学问题的过程是一个复杂的数学思维过程，小学生的数学思维能力还比较弱，因此，很多小学生在解决数学问题的过程中会感到困难。所谓数形结合，就是指把数学中的数量关系和空间形式这两大要素进行有机融合的思想方法，数形结合能够把抽象的数学问题通过图形展现使之形象化，能够架起数学问题条件与答案之间的桥梁。在小学数学问题解决教学中，借助数形结合能够有效地优化学生对数学问题的解决，从而在这个过程中促进他们数学核心素养的提升。

一、化抽象为形象，找准关键条件

小学生在解决数学问题的过程中，找准问题的条件是十分重要的，如果问题条找不准，就会让问题解决失去方向。教学中，教师引导学生基于数学问题的语言描述进行画图，把抽象的文字语言转化为形象的图形语言，就能够快速找准问题中的关键条件，从而明晰解题思路。

例如，对于“一桶油漆第一次用去了整桶的，第二次用去整桶的30%，最后剩下40升。这一桶油漆原来有多少升？”这一道分数应用题的解答，学生首先需要理清题目中的已知条件以及条件之间的关系，并以此作为解题的突破口。实际上，这一题解题的关键条件在于“剩下的40升”对应的分数，所以，必须明确剩下的40升在整桶中占据的百分比究竟是多少。如果僅仅依靠字面的理解，比较容易导致思维的混乱，学生很难直观地想象出40升究竟要占几分之几。所以，在学生审题的过程中，教师要引导学生通过画线段图感知整桶油漆的使用量以及剩余的量。学生在画线段图的过程中，通常先画出一条线段表示“整桶油漆”（单位“1”），两次使用的量分别都在线段图中标示出来，这样学生就能够非常直观地看出“剩余的40升”实际上占比为20%。（见图1）

通过这一线段图，就把原本抽象的问题条件形象化了，从而快速找准解决问题的关键条件，准确地找到解决问题的突破口，这样必然可以轻松解决这一问题。

二、化模糊为明朗，挖掘隐含条件

在一些数学问题中，很多条件隐藏得极深，使学生感受到“晦涩难懂”，这也成为阻碍学生解决问题的“拦路虎”。对于这些数学问题的解决，引导学生借助画图能够使隐含的条件“浮出水面”，这样既有助于提升学生的解题能力，同时也能够深化他们的数学解题感悟。

（一）借助形象图示，挖掘隐含条件

在解决数学问题的过程中，教师可以引导学生基于题目的题意画出形象化的图示，通过图示挖掘出隐含的条件，从而使问题得到解决。

例如，“淘气和笑笑要对一箱水果称重，箱子和水果的重量合计15千克，取出水果的一半之后再称，箱子和剩余的水果共重8千克，水果和箱子各重多少千克？”这一道题的数量关系非常复杂，这种复杂的数量关系对于三年级的小学生来说是很难从字面上去理清的。教学中，教师首先要带领学生分析习题中存在的各种关系，帮助学生理清基本的逻辑顺序，之后引导学生尝试借助图例表示箱子、水果之间的关系，准确把握其中的变量以及不变量。这样在画图的过程中，学生就会画出既简单又便于解析的图示模型。（见图2）

从这一图示中，学生很容易发现“箱子+水果=15”“箱子+一半水果=8”这两个数量关系。题目中箱子的重量是不变的，水果的重量是变化的，由于箱子的重量不变，水果的重量少了一半，这样就能够得出算式15-8=7（千克），这也就是取出的一半水果的重量，从而使问题得到解决。

可见，引导学生在解决问题的过程中借助数形结合的方式，能够让他们高效地理清其中的数量关系，这样既有助于学生理解题目条件，又有助于发展他们的数学思维。

（二）借助线段图，挖掘隐含条件

对于一些具有比较关系的数学问题，教师可以引导学生用画线段图的方式挖掘出题目隐含的条件，以此理清其中隐含的数量关系。

例如，对于“某种新鲜蔬菜含水率为99%，在晾晒之后，含水率降低至98%，此时蔬菜的质量是之前质量的百分之几？”这一道题，学生起初只看到其中有两个百分数，由此感到难以下手，会陷入解题的困境。此时，教师就可以引导学生根据题意画线段图（见图3）。

对于新鲜蔬菜而言，除了含水之外，还会包含其他物质，而这些物质在经过晾晒之后并不会发生改变，只要找出这一隐含条件，此问题便迎刃而解。根据上下线段图可知，其中不变的量就是“不会发生改变的物质”，紧扣这一关键点（不会发生改变的物质的量，实际上就是蔬菜总量×（1-99%）），便可以推导出蔬菜总量，并根据蔬菜总量×（1-99%）÷（1-98%），得到最终的答案是：此时蔬菜的质量是原来蔬菜质量的50%。

以上案例，仅仅借助了一组简单的线段图，就能够有效发掘潜藏在题目中的隐含条件，使学生能够快速地发现二者之间的共性——“不变的物质量”是一定的，在经过晾晒之后水分会减少，但是那部分不会改变的物质的量仍然是一定的。基于这一关系，学生便能够自主推导出现在的蔬菜量和之前蔬菜量之间的关系，顺利突破解题瓶颈。

三、化复杂为简单，简化繁杂条件

在一些数学问题中，涉及的条件多而杂，给学生的解题带来了很强的“负干扰”。对于这些数学问题，教师要善于引导学生通过数形结合的方式把题目中的条件化复杂为简单，从而找到解题的突破口。

（一）借助图形符号，简化繁杂条件

有一些数学问题存在表述复杂、关系繁杂的特点，学生在审题的过程中往往无所适从。对于这些繁杂的条件，引导学生借助图形符号进行转化表示，就能够达到化复杂为简单的效果，从而让学生快速找到解题思路。

例如，对于“一瓶农药加入1杯水之后，其含药量降低至25%，之后再加入一杯药粉，含药量上升到40%，求之前的农药含药率。”这一道题，初读此题，很多学生会产生这样的疑问：原来的农药本就不知道克数，现在又加水又加药粉，含药率也在不断地变化，其中是否存在奥秘呢？怎样把握其中的变化规律呢？这些疑问导致了学生的束手无策，此时教师就要引導学生借助图例，了解其中的对应关系。假如“一份药粉”和“一份水”分别用和代替，根据题目的已知条件，加入一杯水之后，含药率为25%，由此就可以表示出；再根据加入一杯药粉之后，含药率为40%，由此又可以表示为。基于以上图例可以分析得知：一份药粉以及一份水恰好就是一杯药粉和一杯水，那么假如没有一杯水和一杯药粉的加入，之前的含药率就可以理解为：。通过以上图例，我们可以发现之前的农药实际上正是的总和，这也就说明之前的农药含药率为33.33%。

通过图例的展示和分析我们能够发现，不管是简化问题条件，还是突破解题关键，数形结合思想都占据着极大的优势。教师应当在教学实践中恰当灵活地引入并渗透数形结合的思想，促进学生数学思维的发展。

（二）借助线段图，简化繁杂条件

在小学阶段，当学生学习了分数的除法之后，所接触的分数应用题就会相对复杂。如果能够借助画线段图，就可以有效地简化繁杂的条件，使学生清晰直观地把握题意，理清对应关系。

例如，在“某工程队修路，第一天修路的长度为全程的少35米，第二天修路的长度是全程的多5米，两天合计修路的总长度为全程的，求公路的总长。”这一题中，分数所代表的是“率”，但是其中又包含实际的量，并且总体单位“1”的长度也不了解，所以问题的突破口就应该是这两个实际的量所对应的长度是全程的几分之几。这两天的修路长度之间存在着复杂的关系，如何才能有效厘清？实际上，实际的量所对应的“率”求解起来非常简单，因为这两天修路的总长度为全程的，剩下的实际量就是1-=，但究竟是多长并不清晰。此时，教师可以引入线段图，通过数形结合的方式带领学生充分理解和把握数量之间的对应关系。第一天少的和第二天多的综合起来就应该是35-5=30（米），这就意味着全程还剩下30米没有修。

可见，线段图能够使学生迅速把握量与率之间的对应关系，从而把题目中原本繁杂的条件简单化，进而准确找到解题的突破口。

总之，在小学生解决数学问题的过程中，借助数学结合思想，既有助于对学生进行数学思维的有效训练，又有助于激发学生自主探究的兴趣，培养其创造能力。所以，教师应在教学日常中有意识地向学生渗透数形结合的思想，并且为学生搭建多元的试炼平台，使学生积累更丰富的经验，使其数学素养得到更有效的发展。