老师，除法有分配律吗

殷娟

摘 要：学生在复习“运算律”时产生了是否有除法分配律的质疑，而且有的学生也误用了除法分配律。在此背景下，笔者从学生的错题引出除法分配律，希望通过让学生自己经历辨析除法左分配律和除法右分配律的过程，体会科学严谨的学习态度。

关键词：苏教版；除法分配律；提出问题

【问题提出】

“老师，加法有加法交换律和加法结合律，乘法有乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，那么除法有除法分配律吗？”这是部分学生在苏教版六年级“运算律”总复习后产生的疑问之一。

在苏教版四年级下册第六单元“运算律”中，教材通过结合具体生活情境，让学生从计算中经历观察、分析、概括、归纳等过程，依次编排了加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。而且由于乘法分配律种类的复杂性和多样性，教师在安排学生学习这个内容时会多分配几个课时，以帮助学生掌握乘法分配律。

没想到的是，学生在学习完这个“运算律”单元后，竟然提出了那么多有质量的数学问题，同时他们还积极表现出对知识的学习不仅要知其然还要知其所以然的态度，产生了对未知数学问题的探索热情。既然平时教学中都说乘法和除法是互为逆运算的，那么乘法有乘法分配律，为什么除法没有除法分配律呢？是因为除法本就没有分配律，还是因为教材编委认为除法分配律太难所以就不学了？为了解开学生的困惑，我们决定来一场“除法分配律”的探索之旅。

【本质探求】

除法分配律有两种表现形式：左分配律（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0），即被除数分别进行分配运算，这种分配律在整数、分数和小数运算中都成立；右分配律a÷（b+c）=a÷b+a÷c（c≠0），即除数分别进行分配运算，这种分配律在整数、分数和小数运算中不成立。

究其原因主要是因为除法运算中被除数和除数的作用是不同的。因为除法左分配律（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0）可以运用倒数的性质把它转变成（a+b）÷c=（a+b）×=a×+b×=a÷c+b÷c（c≠0），由于乘法是具有乘法分配律的，所以除法左分配律也就顺其自然地成立了。

而除法右分配律运用倒数的性质进行转换，就出现了a÷（b+c）=a×（c≠0）与a÷b+a÷c=a×+a×（c≠0），只有在特殊情况下，a×才会与a×+a×结果相同。因此，除法右分配律并不能在所有整数、小数和分数中成立。

从以上分析来看，除法分配律是客观存在的，但是由于被除数和除数地位的不同，导致它比乘法分配律要复杂得多。对于除法左分配律和右分配律，我们要区别对待，但是从除法分配律的证明方法来看，它与乘法分配律的证明方法基本相同，都经历了“观察计算——提出猜想——验证规律”这样的认知学习过程，体现了数学学习的严谨和精确性。

【教学建议】

除法分配律如果用字母表示数的方式来进行验证，对于小学六年级的学生来说还是过于抽象和死板，会导致他们出现不理解推理过程的现象。因此，笔者在教学时设计了整数、分数和小数这三类具有典型性的数，让学生去验证除法左分配律和除法右分配律是否适合，降低推理过程的难度。

笔者在帮助学生复习加法和乘法运算律后，顺理成章地从学生的错误解题中引导学生思考除法是否存在除法分配律。

（一）从学生错误中猜想除法分配律

投影出示学生错误的解题过程：

300÷2.5+300÷7.5

=300÷（2.5+7.5）

=300÷10

=30

師：同学们，你们觉得这道题目的解题过程对吗？为什么？

生1：我看着没什么问题。

生2：这样做和我按照平时的运算顺序做出来的答案不一样。他按照乘法分配律的格式做了，但是这道题目是除法，感觉除法没有学过除法分配律。

引导：除法有分配律吗？如果除法有分配律的话，用字母应当怎么表示？

多位学生经过交流补充后形成对除法分配律表达式的共识：（1）（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0）；（2）a÷（b+c）=a÷b+a÷c（c≠0）。

揭示今天我们要研究的课题：除法分配律。

（二）在猜想中验证除法左分配律是对的

为了表达的方便，我们把（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0）称为除法左分配律；a÷（b+c）=a÷b+a÷c（c≠0）称为除法右分配律。接下来，我们先来研究除法左分配律。

提问：请你自己想办法说明除法左分配律（a+b）÷c=a÷c+b÷c（c≠0）是正确的或者错误的。

生1：我认为除法左分配律是正确的，我把a看成整数12，b看成整数16，c看成整数4，等号左边是（12+16）÷4=28÷4=7，等号右边是12÷4+16÷4=3+4=7，等号左边等于右边，所以除法左分配律是正确的。

生2：我是用分数去验证的，把a看成分数，b看成分数，c看成分数，等号左边是+÷=+÷=÷=×10==2，等号右边是÷+÷=×10+×10=2+=2，等号左边等于等号右边，所以除法左分配律是正确的。

生3：除了整数、分数，我们学过的数还有小数。我就是用小数验证的，我把a看成小数2.4，b看成小数3.6，c看成小数0.6，等号左边等于（2.4+3.6）÷0.6=6÷0.6=10，等号右边等于2.4÷0.6+3.6÷0.6=4+6=10，等号左边等于等号右边，所以除法左分配律是正确的。

师：刚才大家是先把a、b、c转化成整数、分数和小数，然后再算出等号左边和等号右边的结果，发现两边的答案是一样的，所以除法左分配律是正确的，这是一种验证的好方法。现在我们举出了3个例子，还能再举例子吗？（能）那么，这样的例子举得完吗？（举不完）那你能举一个例子说明除法左分配律是不正确的吗？（找不到）

小结：举不出一个错误例子的结论是正确的。

（三）在辨析中验证除法右分配律是错的

提问：除法右分配律a÷（b+c）=a÷b+a÷c（c≠0）是正确的还是错误的？请你自己想办法说明。

生1：我认为除法右分配律是错误的。因为如果有一个例子是错误的，那这个结论就不成立了。我把a看成整数60，b看成整数20，c看成整数10，等号左边是60÷（20+10）=60÷30=2，等号右边是60÷20+60÷10=3+6=9，等号两边不相等，所以除法右分配律是不对的。

生2：我用小数验证也是不对的，等号左边是9.9÷（2.2+1.1）=9.9÷3.3=3，等号右边是9.9÷2.2+9.9÷1.1=4.5+9=13.5，等号两边的答案也不同，所以除法右分配律是不对的。

生3：我用分数验证也不对，等号左边是6÷+=6÷==7，等号右边是6÷+6÷=12+18=30，等号两边也不相等，所以除法右分配律不正确。

师：通过验证，我们很肯定除法右分配律是不对的，那么除法右分配律左右两边哪边的结果大呢？为什么？

生1：右边大，我们从刚才代入整数、分数和小数的结果中看出来的。

生2：除法性质告诉我们，分子相同，分母越大结果越小，所以a÷（b+c）

小结：现在我们不仅知道除法右分配律a÷（b+c）=a÷b+a÷c（c≠0）是错误的，而且知道a÷（b+c）

【教学反思】

以上的教学过程从学生的错误和学生关心的问题入手，通过完整的提出猜想、验证结论等推理过程去判断除法分配律是否正确，带给学生严谨认真的科学态度。尤其是在初次验证除法左分配律是否正确时，学生将具体的整数、分数和小数分别代入验证除法左分配律左右两边的结果是否相同，这种用不完全归纳推理来判断除法分配律是否成立是最常见的方法。有了结论后，教师和学生并不满足于最后的结论，他们继续追问“是否还可以举出这样的例子”“这样的例子能举完吗”“能不能举出一个反例”等问题，从而既使得学生自己的归纳推理更加完美無缺，又为学生检验除法右分配律是否正确提供了方法指导。

在后来验证除法右分配律是否正确时，教师也不仅仅满足于得到结论，而是让学生充分表达自己的想法，用多种方法判断出除法右分配律左右两边的大小，并进一步说明了除法右分配律是不正确的。

这是一个充满着思辨味道的数学课堂。在生生之间、师生之间的思维碰撞和交流中，学生不仅不断追求问题的数学本质，知道了除法左分配律是对的，除法右分配律是错的，而且还了解了验证推理的方法和过程，体会到数学知识“再创造”的乐趣，为初中的逻辑推理提供了模板。