把握数学本质，发展空间观念

郭兵

摘 要：当前部分小学教师的几何教学比较盲目，本文以一道几何错题，说明了当前教师在把握数学本质，发展学生空间观念的教学中还存在着问题，同时以圆的教学为案例，阐述了优化几何教学的策略。

关键词：小学数学；数学教学；几何教学

当前部分小学教师的几何教学还比较盲目，以至于教师虽然开展了教学活动，学生学习以后却解决不了几何问题。现提出教师要帮助学生把握数学本质，发展空间观念。

一、由易错题引发的思考

师：圆形花坛周长为62.8米，工人师傅想为它安装自动旋转喷灌装置，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？

生：20米？

師：为什么有这样的答案？

生：猜的……找不到答案，我觉得喷水距离越大越好吧？

师：你认为喷水的射程意味着什么？它又和花坛半径有什么关系？

（学生表示不知道这题还能建立起这样的数量关系。）

从学生的回答中，可以看到学生对几何问题的理解还局限于感性的理解和形状的理解上，他们还不能从抽象的角度理解什么是几何，这是其一；他们没有从数学学科的角度系统地理解几何知识，这是其二。从学生犯下的错误可以反映出几何科学空间观念的教学是小学数学教师必须关注的问题。

二、对教学内容的再认识

从以上的几何错题中可以看到，学生对几何的认知还建立在直观的层面，即学生只能从几何的形状这种直观的概念理解几何事物，他们不能把几何的认知上升到抽象的高度上，从数、量的角度来分析几何。因为在他们的心目中几何形状=几何事物，不能从数学的本质，即从空间的数、量的角度来探讨几何问题，所以他们很难深入地探讨几何问题。在开展教学活动时，帮助学生建立抽象的空间概念，让学生从数、量的角度理解几何图形，让学生通过学习几何图形了解数学本质是教师开展教学活动的方向。

三、教学的实践与对策

1. 数形结合，在探究中形成空间表象

（1）数一数

学生在学习几何知识时，缺乏数、量的概念，而教师在开展教学的时候，让学生了解了几何事物的形状特征，却没有让学生了解与形状特征有关的数、量关系。为了让学生深入地了解几何的抽象概念，教师开展几何教学的第一步，就是要在引导学生学习几何图形形状的基础上，同步进行数量教学。以教师引导学生学习圆为例。

师：圆跟我们以前学的几何图形特征有不同之处，它哪里不同呢？

生A：圆，不是数条边长构成的。

师：很好，还有呢？

生A：圆没有边长也没有角。

学生在教师的引导下开始画圆心，通过绘图，学生意识到圆“没有边长、没有角”是它核心的性质。圆形既没有边，也没有角，那需要探讨什么呢？这就是学生要思考的问题。

（2）摆一摆

小学生具象思维能力强、抽象思维能力弱的特点，造成了小学生记忆抽象事物的时间比较短暂。为了让学生真正地理解抽象的事物，教师应当调动小学生擅长的记忆方式——让他们运用体验的方式来记忆事物。以教师引导学生寻找圆的周长为例，教师可以引导学生测量事物。

师：我们以前学过测量的知识，现在我们能不能用测量的方法获得圆的周长呢？

生B：可以。我可以在圆的周长上取一点，用一条线的一端与这一点重合，让线沿着圆的周长绕一圈，使这条线与圆的周长重合，直到这条线的另一端绕回到周长的那一点上，最后测量这根线的长度，就是圆的周长。

生C：这个方法不精确，不如直接画个圆，再卷一个和圆一般大小的圆纸筒，把线绕纸筒一圈更快。

师：很好，大家都积极思考了。现在用分工合作的方法先画一个圆形，再测量这个圆形的周长。小组成员可以尽可能地用你们想到的方法测量出来，并且把你们能想到的，关于圆的周长数据都测量出来。要注意对比测量的精度，看哪种方法测量出来的精度最高。

（学生以小组为单位开始测量，为了控制精度，每种测量方式学生都用了3遍，最后取测量的平均数。）

学生在测量长度或角度的时候，要体验测量的过程、控制测量的精度等，在反复体验的过程中，学生记住了决定圆的周长大小的数据是圆的半径（在用圆规测量时得到的），与圆有关的重要的数量参数是周长，似乎圆的半径越大，周长越大。

（3）想一想

当学生从理论及实践的角度理解了几何事物的数量特质以后，仅仅意味着小学生理解了几何事物具有“数、量”的特征，此时学生还没有建立起抽象的空间几何概念，更没有从数学学科的意义上理解几何事物的概念知识。如果要让学生从抽象的角度理解几何事物的“数、量”特征，教师要引导学生从更抽象的角度来理解几何事物。

生：在测量圆一端到另一端的长度时，发现它的长度大小不一，无法了解圆的直径怎么量。

师：根据以前学过的知识，圆有什么样的特点？

生：对称性的特点。

师：现在要不要应用它的特点来测量圆的直径？

（学生在教师的引导下，把圆对折。）

生：测量出来了！把圆对折以后，可以直接测量出它的直径长度。

师：你换一个角度对折圆，觉得直径的长度会有变化吗？

生（去尝试）：只要是将圆对折，无论用哪种方法对折，它的直径长度都是一样的。

师：为什么呢？

（学生仔细观察，发现圆有无数条对称轴。）

师：你觉得用不对称的方式对折圆，折出的那条直线的长度可能超过直径吗？

生（体验、尝试、测量）：不能。将圆对折，获得的长度就是最长的。

通过体验，学生了解了圆中无数条直径相交形成的交点，就是圆的圆心。圆的对称轴即为直径；直径的一半为半径。不经过圆心测出圆的两端的直线为弦，弦的长度永远不超过直径。经过教师引导，学生完成了圆的半径、直径、周长的认识。

（4）说一说

当学生具备了抽象的几何认知以后，教师要引导学生从系统的角度来强化这一认知。教师可以运用让学生描述的方法来强化学生的认知。比如教师可引导学生到讲台前用抽象的语言来描述他对圆的认知。

师：现在把你们刚才测量的结果在课堂上说一说？

生：我们小组刚才测量的形状如图1所示，它是一个圆，它的长度是……

师：一个圆，这个圆的名称是什么？

生：圆O。

师：请用准确的数学语言描述你的意思。

生：我们测量的图形是圆O，它的直径是AB，长度是……BC是它的一根弦，BC的长度是……AC也是它的一根弦，它的长度是……A、B、C都是圆周上的任意一点。O为圆O的圆心。

几何空间观念包含以下内容：第一，应用抽象的方式描述事物特征的观念；第二，应用数量的方法描述出事物特征的观念；第三，应用符号化的方式描述事物特征的观念。小学生的抽象思维能力不是立马就能建立起来的，这种能力是学生受到长期的训练后才逐渐培养起来的。教师要在教学中经常引导学生应用数学语言来系统地说出抽象的概念，让学生在反复地说、反复地练习中逐渐形成抽象的、系统的空间概念。

2. 等积变换，在辨析中提升空间思维

（1）推导中理解

当学生能以抽象的角度理解事物以后，要引导学生从几何的某个性质着手分类、归纳几何图形，这是帮助学生建立抽象概念的重要学习步骤。在这一学习的过程中，学生能掌握分类、归纳等科学的思维。

师：过去我们用边和角来区分多边形。现在，我们怎么把圆进行分类呢？

生：圆的角是相同的，全部都是360°。若依性质不同的方法分类，那就只好依周长来分类？

师：如果多边形的周长是与它们的几条边的长度有关，那么圆的周长又与什么有关？

生（结合刚才测量的结果，通过归纳、推理、猜测获得答案）：与直径有关？

师：请给出证明。

学生开始计算，通过计算刚才测量获得的数据，得到了圆周长与圆直径的关系，得到了与圆有关的一个重要系数：π。

当学生获得了抽象的认知以后，教师要引导学生学会根据几何事物的抽象概念来分类，并且建立概念与概念之间的联系，使学生的知识系统化，这是引导学生应用系统的方法思考几何事物的关键的学习步骤。

（2）练习中强化

当学生能从抽象的角度理解几何知识以后，教师要通过引导学生做题来巩固学生的学习成果，并让学生在做题的过程中发现学习的问题。

师：当圆规两脚间的距离为4厘米时，画出的圆的周长是多少厘米？

生：圆的周长=2πr=2π×4=8π≈25.13274123厘米。

师：一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大了几倍？

（学生不知道如何回答。）

师：以前我们遇到一个过于抽象的问题时，可以用什么方法来解决问题？

生：枚举法。

（学生接受了教师的引导，尝试用枚举法探索半径与周长的关系。）

教师要通过练习引导学生巩固知识。教师设计的问题要具有层次性。第一，教师要为学生设计基础题，使学生了解是否完全掌握了今天学过的知识。教师设计的基础题要引导学生了解边、角的概念，等量关系建立的方法等。第二，教师要为学生设计需要应用数学思想进行思考才能得到答案的题，这样的题目能引导学生应用数学思想来思考问题，这是抽象思维培养途径的一种。教师要引导学生不断地思考、学习，掌握各种抽象的数学思想，应用数学思想来建立几何数量关系。

（3）复习中提升

当学生把理论和实践结合起来，用理论来解释实践的答案，用实践来体验理论知识以后，教师要引导学生学会用抽象的方法来推理知识。

师：圆形钟表的分针长5cm，2小时后分针尖端走过的距离是多少？

生（绘制图形，用数形结合的方法分析已知条件和未知条件）：2×3.14×5×2=6.28×10=62.8（厘米）。

教师在教学中要引导学生一边巩固复习，一边具备这样的思维：第一，数形思维，学生只有具备这样的思维，才能从抽象性的思维来分析几何事物的数量特征，避免把几何事物简单化、形象化；第二，用数量化的特征来看待图形，只有学会用这样的方法思考几何事物，才能弄清几何事物的几何关系，建立几何特征的数量关系表达式；第三，用符号化的方式来看待几何事物的数量关系，教师不仅要引导学生学会用具体的数值来建立几何事物的数量关系式，还要学会应用抽象符号来描述数量关系表达式。将几何事物抽象化、数量化、符号化的观点就是空间观念。

3. 知识创新，在变式中拓展空间想象

在教学中，教师要引导学生具备分割、重叠、再造几何事物的意识，令学生意识到几何图形之间是可以相互变化的。学生可以根据需求把一个几何事物旋转、镜像成另一个事物，也可以把一个几何事物分割成几个几何事物，还可以把几個几何事物合并成一个事物。比如教师可引导学生思考以下习题：参看图2，现有一个梅花形的水盆，外圈是五个半圆形，每个半圆形的半径都是5cm，请计算这个梅花形水盆的周长？通过思考这道习题，学生能够意识到五个半圆形可以拼成一个梅花形。计算一个梅花形水盆的周长，就等于计算五个相同半圆的周长。当学生具备了这样的思维以后，就能应用宏观的几何视角看待问题，而不会被眼前的一个几何形状所限制。

总之，教师引导学生重视数学学科的本质，帮助学生发展空间观念，就是要引导学生学会从抽象的、数量化的、符号化的观点看待几何事物，并且能从创造的视角学会复制、镜像、旋转几何事物，学会分割及拼接几何事物。学生无法立即具备这样的思想观点，因此教师要在教学中一边引导学生理解几何图形的特征，一边培养学生的几何数量化思想，然后让学生在体验、思考、总结的过程中学会抽象化思维、符号化几何数量关系，渐渐地形成几何科学空间观念。