一种基于空间稀疏重构的匹配场定位方法

陈迎春，蒋亚立

（江苏科技大学电子信息学院，江苏镇江212003）

水下声源定位分为主动与被动声纳定位。被动定位具有高安全性、高隐蔽性、探测距离远的优点。匹配场处理（Matched Field Processing，简称MFP）是被动目标源探测的重要方法之一。匹配场处理充分利用了阵列信号处理和声波在海洋中的传播特点，定位性能得到大大改善[1]。

近年来，匹配场处理技术在被动声源定位、水下目标检测等领域引起热烈的关注。提高分辨力一直是匹配场处理研究学者的一个重要努力方向。Bartlett处理器（常规匹配场处理）是由Baggeroer提出的，它是一种典型的线性匹配场方法。如果对多个单频匹配场处理结果进行非相干平均可以达到降低定位模糊度的效果[2]。匹配场处理根据权向量是否依赖于测量数据，可以分为线性匹配场处理和自适应匹配场处理两类[3]。线性匹配场处理方法的典型代表是Bartlett处理器。自适应匹配场处理方法的典型代表是MVDR（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）处理器。Bartlett处理器具有较好的宽容性，对环境参数失配等变化不敏感。但是，在后续研究者使用过程中发现，用Bartlett处理器处理匹配场问题时会出现旁瓣较高的现象，从而导致定位结果的模糊区域较大。最小方差无畸变（MVDR）处理器是自适应匹配场处理中最具典型代表性的，由Capon提出。MVDR处理器的优点是：能够很好地抑制旁瓣以及噪声信号的扰乱，较好地改善了Bartlett处理器定位模糊的问题。但是，MVDR处理器需要精准的环境参数以及大量的快拍数，因此MVDR处理器对软硬件的要求高，并且对环境失配敏感。因此，传统匹配场处理都存在一些缺点。为了克服这些缺点，本文提出一种匹配场声源定位方法，它基于空间稀疏重构，可以在快拍数较少的情况下，改善定位模糊问题，实现更高精度的目标源定位。

1 基本原理

1.1 压缩感知基本理论

压缩感知[4]是一种不同于传统信号采样定理的方法。它突破了奈奎斯特采样定理的极限，在采样的同时对信号进行压缩，一定程度上缓解了数据采集和存储的压力。压缩感知理论的诱人应用价值凸显。目前，压缩感知技术已经在很多领域得到了应用。压缩感知表述的内容如下：“如果信号是可压缩或稀疏的，那么可以将信号的压缩采样和稀疏重构问题转化为一个非确定线性观测方程数学求解的问题[5]。”压缩感知的三要素是稀疏表示、压缩采样和重构算法，具体的步骤如下：

1）选取合理的稀疏变换基或者构建合理的冗余字典，构建稀疏信号模型[6]，实现对信号的稀疏表示；

2）设计合理的测量矩阵，对信号压缩采样；

3）根据压缩采样所得的数据，利用重构算法恢复出原始的信号。

由压缩感应我们可以知道，阵列在采样初始信号的过程中就已经进行数据压缩。如果将水下搜索平面看做一个二维坐标平面，两个坐标系分别是深度和距离，水下目标所在的位置就是坐标系中的点坐标。那么，在水下同时辐射信号的目标源相对于搜索平面来看是稀疏的。因此，我们说水下目标源是稀疏的。在对目标信号稀疏表示之后，接收阵列采集到的信号可以表示为：

其中，A是P×H维的投影矩阵。B（l）是H×1维的稀疏向量，并且其中只有少数的非零元素。C（l）是P×1维的压缩采样后的数据，N（l）是P×1维的噪声矢量。

要想求解式（1），可以采用下式：

要想求解式（2）是困难的，它是一个NP-hard问题。当H值很大时，计算量巨大，数值计算难以实现[7]。因此目前广泛采用的方法是以BP为代表的基追踪算法、以OMP为代表的贪婪算法等[8]。

1.2 匹配场声源定位的稀疏表示

如图1，假设要搜索的区域是一个二维平面区域。左边黑色圆点代表接收阵列，接收阵列垂直放置，右边是搜索区域，即目标源所在的区域。首先，对搜索区域进行离散化处理，便于计算机进行数据处理。将该区域划分成若干个用白色圆圈表示的栅格点，栅格点尽可能多，使的离散化处理更加细密。图中，右侧灰色实心点代表声源的真正位置（图1中实际声源个数为D=1）。假设栅格点之间的间距比较小，那么声源就会恰好出现在某一栅格点上[9]。在水下，由于同时发出声音的物体比较少，因此声源信号在水下环境中可以看做空间域里的稀疏信号，实现稀疏表示的方法是空间网格划。然后将信号源与其空间的位置进行对应再进行压缩采样，最终重构出信号本身进而实现目标声源定位[10]。

图1 搜索区域离散化示意图

通过以上分析，我们可以使用下面的稀疏表示模型：首先，将目标搜索的大概区域离散化成H个栅格点，栅格点尽量密，足以使目标源恰好落在栅格点上。将它们记作{r1，r2，…rh}。用向量b表示栅格点上的信号脉冲，b是一个H×1维的向量，其中的第n个元素数值大小代表rn处的栅格点的信号脉冲强度的大小。如果这里无声源，那么信号脉冲强度为0，也就是元素值为0[11]。

假设接收阵元数是P，搜索区域内有D个目标源（即b矢量含有非零元素D个），那么在l时刻的阵列接收数据[12]如下：

其中，A是观测矩阵，且A=[a（ω0，r1）a（ω0，r2）…a（ω0，rh）]。a（ω0，rh）是观测矩阵中的列向量，a（ω0，rh）=[a1（ω0，rh）a2（ω0，rh）…aP（ω0，rh）]T，h=1，2，…H。ai（ω0，rh），（i=1，2，…P）是从位置rh到第i个阵元间的格林函数，也就是信道传递函数。P是接收阵阵元个数。D是搜索区域内目标源的实际个数，H是搜索区域内栅格点总数，一般地，H≥D。L代表快拍数，b（l）∈CH是第l时刻声源的发射信号，元素的大小对应着发射信号的信号强度，n（l）是l时刻噪声强度[13]。

1.3 基于压缩感知的匹配场声源定位模型

匹配场定位的基本原理是：“充分利用水声环境信息，根据声音信号在水下多径传播等特点来确定声场传播模型，采用该模型计算拷贝场向量，将拷贝向量与测量场数据进行匹配，从而实现水下的定位[14]。”

根据压缩感知理论可知，基于压缩感知的匹配场源定位问题可以表示如下：

其中A是P×N维的测量矩阵，b（l）是稀疏向量。由式（4）可看出，阵列输出c（l）是一个P×1阶矢量。通常，c（l）比传统阵列输出值的阶数要小，也就是说减少了阵列总的输出数据量，这就是压缩采样的作用，减少数据存储传输量。最终，减小了数据计算量同时降低了对接收阵的硬件要求。

为提高估计的准确性，应当进行多次快拍采样，那么式（4）可以改写为以下形式：

C=[c（1），c（2），…c（L）]，N=[n（1），n（2），…n（L）]。B=[b（1），b（2），…b（L）]，是待求解的N×L维稀疏矩阵。L是快拍采样次数。为求得式（5）的最优解，需多次测量并用如下最优化方式：

我们知道这是一个非确定性多项式难题，无法获得最优解。广泛使用的解决办法是使用重构算法。可以采用联合重构算法。本文采用的是凸松弛混合范数算法，它类属于联合重构算法。

1.4 联合重构求解匹配场定位模型

为求解式（6），本文采用的联合重构算法是凸松弛混合范数算法。当ε=0时，式（6）可以改写为：

利用联合重构算法进行匹配场定位的步骤是先求解式（7）得到稀疏向量b（l），也就得到了b（l）中非零元素位置，然后结合信号空间稀疏模型，根据每个b（l）中非零元素位置确定匹配场源定位的结果[15-17]。

综上所述，本文所提出的基于空间稀疏重构的匹配场源定位的步骤可以归纳为:

1）将搜索的区域离散化成H个栅格点，栅格划分足够细密。假设所有目标源都在这些离散的栅格点上面，那么目标源的位置就与空间划分的位置对应起来。

2）根据公式（1），可以得到阵列接收信号的空间域稀疏表示模型，选取合适的测量矩阵进行压缩采样，从而得到阵列输出信号，即式（3）；

3）运用类属联合重构算法的凸松弛混合范数算法求解式（7），分析稀疏向量b（l）中非零元素对应的位置，最终实现匹配场声源的定位估计[18-19]。

2 仿真结果分析

在以上理论推导之下，本节通过实验仿真验证本文所提的基于空间稀疏重构的匹配场声源定位方法的有效性与可行性。仿真环境假定为：海水密度是1.0 g/cm3，海水声速是1 500 m/s，海底介质密度是1.8 g/cm3，海底声速是1 800 m/s。搜索区域栅格点数目H=5 000，扫描步长是1 m，水平和垂直扫描范围为0～100 m和0～50 m。阵列采用均匀垂直水听器阵列，阵元个数为P=7。仿真中加入输入信噪比为SNR=10 dB的高斯白噪声。真正的声源位置坐标是（40，25）和（80，25）。

2.1 可行性分析

在以上实验条件下，对本文所提的基于空间稀疏重构的匹配场声源定位方法进行仿真试验，仿真结果如图2所示。可见，本文所提的方法在快拍数较少的情况下能够准确的进行定位，定位结果是（40，25）和（80，25）。因此本文所提的方法具有可行性。

图2 本文所提方法实现定位的结果图

2.2 单次快拍定位

由于进行MVDR要求信号的协方差矩阵满秩，而单次快拍仅进行一次快拍采样，不能满足要求。所以，此处不讨论MVDR算法，而仅比较bartlett算法及联合重构算法的定位性能。仿真的结果如图3图4所示。图3是联合重构算法的匹配场定位结果图，定位结果为（40，25）和（80，25）。此时的水平定位误差以及垂直定位误差都是0，所以联合重构算法可以对声源位置进行精确的定位。图4是bartlett算法定位结果图，从中可以看到仅仅能明显定位出位置（80，25）处的声源，而且位置略有偏差而且旁瓣很高。

图3 联合重构算法的匹配场源定位结果

图4 bartlett算法的匹配场源定位结果

2.3 多次快拍定位

多次快拍时，信号的协方差矩阵可以满秩。所以在多块拍定位时，仿真比较bartlett、MVDR和联合重构3种算法的定位性能。仿真结果分别见图5、图6和图7。从图中可以看出bartlett和MVDR的定位结果存在较大旁瓣，定位的模糊区域较大，定位效果不理想。然而基于联合重构算法的匹配场定位结果模糊区域很小，定位精度较高，定位的结果为（40，25）和（80，25）。

图5 bartlett算法的匹配场源定位结果

图6 MVDR算法的匹配场源定位结果

图7 联合重构算法的匹配场源定位结果

3 结 论

本文在压缩感知理论的基础上提出一种新的匹配场源定位方法，即基于空间稀疏重构匹配场源定位方法。这种方法能有效地克服bartlett、MVDR等匹配场定位方法旁瓣较高，定位模糊区域较大的缺点，实现较高精度源定位。仿真实验证明：本文所提的方法能够在阵元数目较少的情况下对水下目标声源进行高精度的定位。为解决匹配场声源定位问题提供了一种新的有效的途径。

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