Dirichlet定理的改进

方菲

摘 要：丢番图逼近问题是数论研究中的一个重要课题。在流形上研究丢番图逼近，即丢番图逼近的测度理論或含参变量的丢番图逼近研究是近年来活跃的研究方向之一。用动力系统的思想方法去研究矩阵的丢番图逼近，已经取得了很多结果。本文主要研究的是在含参变量矩阵中对Dirichlet定理进行改进。讨论了在Lebesgue测度下，friendly测度和Federer测度下改进的Dirichlet定理。证明了在相应条件下改进的Dirichlet定理仍然成立。

关键词：丢番图逼近；VWA；VWMA；极端；强极端；Dirichlet定理

一、引言

在自然科学的发展历史中，出现了很多经典的研究课题，丢番图逼近是其中非常重要的一个分支。丢番图逼近最早可以追溯到数论。近几十年来，随着丢番图理论的日趋完善，出现了一个新的数学分支，流形上的度量丢番图逼近，即用动力系统的思想方法研究流形上的丢番图逼近问题。

在丢番图逼近的测度理论中，Dirichlet定理是一个重要的研究方向。本文主要讨论的是在含参变量的矩阵中对Dirichlet定理进行改进。

二、丢番图逼近的基本概念

我们先来介绍丢番图逼近的基本理论。

定义2.1若δ>0，称 是very well approximable（VWA）的，如果存在无穷多个 和 相应的，满足

（2.1）

其中Mm，n是由m行n列实矩阵组成的空间， .

称μ是极端的，若在测度μ下，几乎所有的 都不是VWA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

它表明由VWA矩阵构成的集合的Lebesgue测度是0。但是，在Hausdorff维度下，它的维数却等于矩阵Mm，n的维数。从这个角度看，满足这样条件的集合是相当大的。我们也注意到由Khintchine的转化原理，可以得出Y是VWA的的充分必要条件是Y的转置是VWA的。

对于 ，我们令 ，且

。

定义2.2（[1]）称 是very well multiolicatively approximable（VWMA），若存在δ>0，有无穷 多个和相应的 ，满足

（2.2）

称μ是极端的，若在测度μ下，几乎所有的 都不是VWMA，即μ（{ │Y是VWA}）=0。

事实上，VWA与VWMA之间存在如下关系：由于当

＼{0}时，有 ，且 ，从而得出

因此 .这表明当Y是VWA的，则Y是VWMA的。所以，当μ是强极端的时，它是极端的。

矩阵空间中极端和强极端性的基础是非退化性，下面来介绍非退化的定义。

定义2.3设开集 ，光滑映射f=（f1，f2，…，fn）：U→Rn，称f在 处是l-非退化的，如果f在x处的l阶偏导数张成Rn。我们称f在x处是非退化的，若对某个l使得它在x处是l-非退化的，且对几乎所有的 都成立。

基于齐次动力系统的极端和强极端性问题已经在文献[3]中阐述：

定理2.1设开子集 ，令光滑映射f：U→Rn，f是非退化的，则测度μ=f*λ是强极端的。

三、Good函数和非共面性

令X是一个度量空间。若 ，r>0，令B（x，r）是以x为中心，r为半径的开球。若B=B（x，r），且c>0，cB表示B（x，cr）。对 和B上的实值函数f，令 。若X上的测度 满足 >0，令 。

下面介绍D-Federer的定义，它为Dirichlet定理的改进提供了工具：

定义3.1（[1]）若D>0， 是开子集， 是X上的测度，称 在U上是D-Federer的，若对任意的中心在supp 上

的球 ，有 。

测度 被称作Federer的，若对几乎所有的 ，存在x的邻域U和D>0满足 在U上是D-Federer的。

由Rd上的Lebesgue测度可以引入下面定义：

定义3.2 给定C，α>0，开集 ，称实值函数f：U→R在U上关于测度 是（C，α）-good 的，若对任意的中心在supp

上的球 和任意的ε>0，有

若映射f=（f1，…，fN）：U→RN，我们称 是good的，若对几乎所有的 ，存在x的邻域V满足1，f1，…，fN的任何线性组合在V上关于测度 是（C，α）-good 的。

事实上，由函数的非退化性是可以得到（C，α）-good 的.

下面介绍非共面的定义：

定义3.3称 是不共面的，若对任意的球B且

1，f1，…，fN限制在 supp 上关于数域R是线性无关的。即 不包含在RN的任何仿射子空间中。

因为不共面性可以由f的光滑性得到，从而有下述重要结论，当f是光滑映射且关于测度 是非退化的， 是good且不共面的。

在介绍了一类friendly测度：Rn上的测度是friendly的，当且仅当它是Federer的且 是good和非共面的。

对度量丢番图逼近的研究已经扩展到映射和测度上。主要结果之一是如下定理：

定理3.1 令 是Rd上的Federer测度， 开，且f：U→Rn是连续映射，满足 是good和非共面，则 是强极端的。

四、Dirichlet定理的改进

设 ，其中Mm，n是由m行n列矩阵组成的空间，令

对任意的 ，若存在解 和对应的 ，使得

（4.1）

给定A的一个无界子集T和0<ε<1，记所有使上述不等式关于 有解的矩阵为I（T），由Dirichlet定理，

在文献[1]中，作者提出一个问题，上述不等式能不能进行ε改进，即存在T>0，使得對任意 ，t>T，下面的不等式

（4.2）

存在整数解（p1，…，pm）和（q1，…，qn）的Ym×n的Lebesgue测度为0.

即 ，其中 是所有满足上述不等式关于

有解的矩阵。

其中 和VMWA有下面的关系：

引理4.1. 令 ，0<ε<1， ，

，若（4.2）有整数解，则Y是VWMA的。

证明：若Y满足（4.2）式，即存在 满足

因为0<ε<1，则存在 ，使得

对 ， 把代入，不等式两边同时乘上 ，得到

（4.3）

对于 ，把 代入，不等式两边同时乘上

，得到

. （4.4）

现在来证Y是VWMA的。令l是q的非零分支的个数。对（4.4）中不等式进行整理得到

或者

同时，对（4.3）进行整理得到

或者

（4.5）

所以，存在正数 满足 。否

则，在T中令t→∞，（4.5）式有无数多个解q，则

成立。故Y不是VWMA的。

由于在Lebesgue测度下，几乎所有的矩阵 都不是VWMA的，所以存在下面的定理：

定理4.1 令 ，T是A上的一个无界子集。对任意

，记满足不等式组

存在整数解的所有 为 ，则

定理的证明可以直接由引理4.1和Dirichlet定理得到。

下面考虑含参变量的矩阵Mm，n，有下面的定理：

定理4.2 若 是Rd上的friendly测度，U是IRd上的一个开集，F：U→Mm，n是Cl+1阶映射， 在 测度下几乎处处是l阶非退化，则

其中 是 对应在矩阵Mm，n上的测度。

证明：由定理3.1可知，若 是Rd上的friendly测度， ，

f是Cl+1阶映射且 在 测度下几乎处处是l阶非退化的，则 是good的。又因为 是非退化的，故它是非共面的。即 是good和非共面的，故 是强极端的。再由引理4.1得到

五、结束语

丢番图逼近理论已经从数的有理逼近发展到流形上的丢番图逼近，已取得了很多结果。

本文主要研究了流形上含参变量矩阵中Dirichlet定理的ε改进。讨论了在Lebesgue测度下，friendly测度和Federer测度下改进的Dirichlet定理。证明了在相应条件下改进的Dirichlet定理仍然成立。

对于改进的Dirichlet定理问题，在后续的工作中，我们可以讨论的值，探讨最佳的ε范围。

参考文献：

[1]Kleinbock D， Margulis G， Wang J. Metric Diophantine approximation for systems of linear forms via dynamics[J]. International Journal of Number Theory， 2010， 6（05）：1139-1168.

[2]Kleinbock D， Lindenstrauss E， Weiss B. On fractal measures and diophantine approximation[J]. Selecta Mathematica， 2005， 10（4）：479-523.

[3]D.Y.Kleinbock and G.A.Margulis.Flows on homogenous spaces and Diophantine approximation on manifolds， Ann. Math，148， 1998，339-360.