基于灰色系统预测GM(1,1)模型的商洛市人口预测

杨滨峰

（商洛学院电子信息与电气工程学院，陕西商洛 726000）

商洛市作为陕南地区的重要城市，是连接西北和中东部地区的交通要道，也是联结关中—天水经济区与武汉经济圈的枢纽区域，是陕西重要的药材资源、生态资源和旅游资源的集中地[1]。一般情况下，一个地区的人口规模在一定程度上会影响该区域的建设思路及政策制定，因此，正确预测商洛市的人口规模，对商洛市的城市建设和经济发展有着重要的参考意义。

目前，较为准确的人口统计方法是定期进行的人口普查[2]，耗时和耗资较多，数据具有一定的滞后性。而对于未来人口的预测方法目前主要是依据已有的一些人口数据，采用数学方法、统计学方法和人口学方法等对未来的人口规模进行预测[3]。人口学方法主要包括单因素法和多因素的队列因素法[4]，其中单因素法仅考虑单一人口变动因素，不能包括复杂的人口变化信息，准确度较低。多因素的队列因素法根据以前的人口队列数据和人口变动率等其他参数对未来的人口进行预测，准确度较高，是目前世界上较通用的标准人口预测模型，但该方法需要的多种其他的人口统计信息，比如人口变动率等，不易获取，直接影响了模型的广泛使用[5-9]。数学和统计学方法主要考虑历史纵向数据来进行单变量的人口预测，是目前较为常用的人口预测方法。数学和统计学方法主要包括回归分析[10]和灰色系统分析[11-12]等方法，回归分析是根据历史年份人口数据的变化规律，利用能较好符合其变化特征的直线或曲线函数建立方程进行拟合，直接推算未来年份的人口规模。模型选取主要取决于预测区域人口增长率的变化情况，当人口的增长率变化不具有典型特点，样本量较小时，回归方法的人口预测准确度较低，误差较大。而灰色系统方法的提出，为从另一个方面来解决人口预测问题提供了新思路。它的特点是利用已知信息寻求系统的规律，所需统计数据少，预测精度高，能够保持原系统的特征，较好地反映系统的实际情况。因此，本文采用灰色系统方法对商洛市未来6年的人口情况进行数学建模和人口预测。

1 灰色系统预测GM(1,1)模型的建模思路

通常情况下，信息完全未知的系统被称为黑色系统，信息完全确定的系统被称为白色系统，而那些既含有已知信息又含有未知信息的贫信息系统被称为灰色系统。灰色系统理论主要是为了解决灰色系统问题而产生的，是由华中理工大学邓聚龙教授提出并加以发展的，其建模思路可分为 5 步[13]：

1)假设给定已知观测数据列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)}，根据一次累加函数

可以得到数列x(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(N)}。

2)设x(1)满足一阶常微分方程

其中a是常数，被称为发展灰数；u称为内生控制灰数，是对系统的常定输入。因为模型采用一阶常微分方程建立，故被称为一阶一元灰色模型，记为 GM(1,1)。

根据导数定义

对t进行等间隔取样，用差分代替微分，转化为离散值，可得

3)当△t很小且取很小的单位1时，x(1)(1)留作初值使用，将 x(1)(2),x(1)(3),…x(1)(N)代入式(1)～(4)，可以得到

再将x(1)(i)替换为经整理后可写为矩阵形式[14]

其中 y=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(N))T；

4)对U进行最小二乘运算可得

把估计值代入方程的解中，可以得到时间响应方程

5）精度检验

根据GM(1,1)模型理论，可以根据后验差比值C和小误差概率P值的数值组合，结合预测精度等级对照表（见表1）来判断预测的精度。

表1 预测精度等级对照表

2 商洛市人口灰色系统预测GM(1,1)模型的建立和预测结果

根据商洛市统计局公布的2008—2016年国民经济和社会发展统计公报中户籍人数[15]（见表2），可以看出商洛市的人口数量从长期来看，总体上有着增加的趋势，但是有着变化复杂、波动不规律、数据样本量较少的特点。

表2 商洛市2008—2016年的人口数量

由于人口会受到众多因素的影响，根据商洛市人口数据的时序序列变动规律，采用GM(1,1)模型原理可以对未来人口的变化进行预测。根据表2，利用Matlab编制相应的计算机程序，可计算得到

则其数学模型为

根据式(10)，可以对2009—2016年的人口数据进行拟合（见表3），结果表明预测值与实际值的误差较小。

表3 2009—2016年的人口预测残差和相对残差值

根据表2和表3，可以得C=0.366949，P=1，再与表1的预测等级精度表进行比较，模型精度等级是合格，证明该模型预测精确度较高，可以对商洛市未来的人口进行预测。因此，可以根据数学模型得出未来6年的商洛市人口，其人口预测曲线如图1所示。

3 讨论

根据商洛市人口的特点，依据灰色系统理论原理，在商洛市2008—2016年人口数据的基础上，建立了商洛市人口的GM(1,1)数学模型，该数学模型达到了灰色系统理论的预测等级精度要求，可以为商洛市未来一定时期内的人口预测提供一定的参考。依据该数学模型对商洛市未来6年的人口进行预测，可以发现商洛市人口每年大约增加1.3万，人口在稳步增长，但增长较为缓慢。因此，根据商洛市人口变化的特点和关中—天水经济区的发展要求，城市建设和经济发展政策的制定应该更加长远，否则会造成相应的发展问题。虽然GM(1,1)模型原理简单高效，但只能进行单变量的人口预测，易受到历史上统计数据准确性和数量的限制和影响，导致仅能预测未来较短时期的人口变化。而人口数量的变化往往会受到如计划生育政策，人口结构，外来人口迁移等其他多种因素的影响，因此在得到上述因素数据的条件下，采用考虑多种因素的其他人口预测方法如队列因素法则可以实现对人口数量变化的较为准确的长期预测。

图1 商洛市的人口预测

参考文献：

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