花键轴扭转变形及破坏分析

柴锡军

(河南能源化工集团研究院有限公司，河南 郑州 450046)

0 引 言

在工程实际中，有很多轴类零件都会受到扭转作用，如汽车传动轴、车床光杆等。但是还有一些轴类零件不仅仅受到扭转作用，还会承受像弯矩等其他作用载荷，像机床传动轴、电机主轴等，它们在载荷作用下常常会同时产生两种或两种以上的变形。我们常见的轴类零件大部分都是圆柱轴，但在一些特殊机械中会用到一些非圆截面轴，如方轴、花键轴、椭圆轴、齿轮轴等。

花键轴是机械传动轴的一种，分为矩形花键轴和渐开线花键轴，都是传递扭矩的，在汽车、飞机、机床制造业、农业机械以及一般机械传动装置中应用非常广泛。工作时，花键轴要承受扭转作用，发生扭转变形，但是对于花键轴以及一些非圆截面轴的扭转变形及破坏规律很少有人深入研究。因此，研究花键轴在扭转时的变形规律和应力具有十分重要的现实意义。

1 花键轴强度计算

对于一个花键轴，一端固定，在另一端施加一个力偶面与轴线垂直的的外力偶矩，即扭矩T。由于扭矩的作用，两端面之间会出现相对角位移φ，也就是扭转角。随着扭转角的增大，花键轴的键齿随之发生变形，由直齿逐渐变成了斜齿，结构逐渐相似于蜗杆。为方便分析计算，现定义一虚拟螺旋角β，即花键键齿扭转后的切线与通过切点的圆柱面直母线之间所夹的锐角。随和扭转加剧，其逐渐增大。由于虚拟螺旋角的存在使得花键轴在受到扭矩T作用时，轴横截面上将会同时存在弯矩M和转矩Me，并且：

M=T·sinβ；Me=T·cosβ

(1)

因此花键轴在扭矩作用下，会出现弯曲和扭转的组合变形，产生弯曲应力σ和剪切应力τ。

1.1 弯曲应力计算

当花键轴上存在弯矩M时，其横截面上任一点处正应力计算公式为：

(2)

1.2 剪切应力计算

由于花键轴是非圆截面轴，在受到转矩Me作用时，如果无任何约束，花键轴发生翘曲。在实际应用中，由于支承元件的存在，可将花键轴看作一端固定，一端可以微小浮动，这种情况就是约束扭转。在转矩Me作用下，横截面上任一点处切应力计算公式为：

(3)

1.3 强度计算

由于轴类零件一般都采用塑性材料，即钢材，所以应选用第三或第四强度理论来建立强度条件，第三、第四强度理论的强度条件分别为：

(4)

对于键齿数为z的花键轴，取横截面形心为原点，一条横截面对称轴为Y轴，则另一轴为Z轴，建立直角坐标系。在花键轴扭转的过程中的Δt时间内，截面尺寸基本无变化，此时横截面的惯性矩Iz和极惯性矩Ip可视为常量。

将式(1)分别代入式(2)和式(3)可得最大应力为：

(6)

(7)

式中：ra为花键轴的齿顶圆半径。由上面的两个公式可知：弯曲产生的最大正应力和扭转产生的最大切应力理论上应在花键轴齿顶部分。

将式(6)和式(7)代入式(4)可得：

(8)

由上面两式可知：在扭矩T的作用下，每一时刻横截面上的最大应力与虚拟螺旋角β有关，且随虚拟螺旋角的增大而增大。

2 数据计算

根据第三、第四强度理论条件可知：

σr3max≤[σ]；σr4max≤[σ]

(9)

将式(8)代入上式可得施加在花键轴上的最大扭矩分别为：

(10)

由于花键轴大多采用40Cr钢，可查得其屈服极限σs≥785 MPa。又由于受弯扭作用的轴类零件的屈服安全系数一般为：ns=1.2～2，为使花键轴相对更加安全，取ns=2，则花键轴的最小许用应力为：

(11)

取齿数同为10的矩形花键轴和渐开线花键轴的一组尺寸。其中矩形花键轴截面尺寸取N×d×D×B为10×82×88×12,其中N为齿数，d为齿根圆直径，D为齿顶圆直径，B为键齿宽。为使齿顶圆直径保持一致，对于渐开线花键轴参数取为：模数m=8，压力角为30°，进而可得渐开线花键轴横截面的其他尺寸，像齿顶圆直径Dei=m(z+1)=88 mm；分度圆直径D=mz=80 mm等。在软件SolidWorks中分别绘制矩形花键轴和渐开线花键轴的三维模型如图1所示。

图1 矩形花键轴和渐开线花键轴三维模型

根据软件“工具-截面属性”可查得花键轴的惯性矩和极惯性矩如表1所列。

表1 花键轴的惯性矩和极惯性矩

将式(11)和上表中的数据代入式(10)可得花键轴在正常状态下承受的最大扭矩。

对于矩形花键轴：

T3max是一常数，保持不变，与虚拟螺旋角无关。

T4max与虚拟螺旋角有关。

对于渐开线花键轴：

=17.841×103(N·m)

T3max也是与虚拟螺旋角无关。

T4max与虚拟螺旋角有关。

综上所述，花键轴在安全工作状态下所能承受的最大扭矩与虚拟螺旋角有关，两者之间的关系如图2和图3所示。

图2 矩形花键轴T-β关系图 图3 渐开线花键轴T-β关系图

3 结 论

从实际出发，分析了花键轴在扭矩作用下的强度问题，通过上面的分析研究，有以下几方面的结论：

(1) 在扭转过程中，随着虚拟螺旋角的逐渐增大，花键轴上将同时存在弯矩和转矩。

(2) 通过计算可知，弯矩产生的正应力和转矩产生的切应力均与虚拟螺旋角有关。

(3) 由最大应力公式以及图2、3可知：花键轴横截面上最大应力与虚拟螺旋角有关，并且随着虚拟螺旋角的增大而增大；但是花键轴所能承受的最大扭矩却随着虚拟螺旋角的增大而减小。

也就是说，在恒定扭矩作用下，随着虚拟螺旋角的增大，花键轴被破坏程度会越来越快；对于大径相同的矩形花键轴和渐开线花键轴，矩形花键轴所能承受的最大扭矩比渐开线花键轴的要大，也就是说它的抗扭强度要比渐开线花键轴要好。

(4) 由最大应力与虚拟螺旋角的关系可得出：对于给定螺旋角的非圆截面轴，顺着螺旋角方向扭转至破坏所需时间要比反向扭转时时间短；并且由于反向时螺旋角逐渐减小至零后又反向增大，所以变形量相对顺向较大，但理论上无论是顺向还是反向，其最大应力应基本相同。

通过计算与推导，我们得到花键轴横截面最大应力与虚拟螺旋角的关系，为工程实际中花键轴和近似花键轴类零件的扭转强度计算提供理论依据。

参考文献：

[1] 刘鸿文.材料力学[M].第4版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 刘春美,孟立凡,郑 宾.用双向扭转圆柱组合螺旋弹簧实现扭矩测试[J].山西机械,2003(2)：11-12.

[3] 成大先.机械设计手册[M].第5版.北京：化学工业出版社,2008.

[4] 史厚强,张国海,王保民.少齿数齿轮轴扭转变形及破坏分析[J].机床与液压,2012,40(15)：60-61.

[5] 孙 恒,陈作模,葛文杰.机械原理[M].第七版.北京：高等教育出版社,2006.