意外的提问精彩的生成

王凤春 张冰

在选修教学中，为了证明不等式aba>0，m>0），我作了如下教学设计.

1教学设计

例题若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.

分析本例实质上是化学问题，由浓度概念可知aba>0，m>0），即糖水中加糖甜更甜.

注保和溶液时，m有取值范围.

解师生合作给出了如下证明.

证法一（比较法）a+mb+m-ab=b（a+m）-a（b+m）b（b+m）=m（b-a）b（b+m）.

因为b>a>0，m>0，所以b-a>0，b+m>0，所以m（b-a）b（b+m）>0，即a+mb+m>ab.

证法二（放缩法）因为b>a>0且m>0，所以ab=a（b+m）b（b+m）=a+abmb+m

瘙 綊 BD，

因为△ABC∽△ADF，

所以ab=a+mb+CF

完成证明，师生共同给出如下推广：

设真分数a1b1

则a1b1

原来的教学设计是推广（*）后，讲解两道基本例题，便完成本课的教学.但是，学生甲追问（*）如何证明？这个提问既打乱了教学设计，也激发了学生的思考.课堂上片刻的沉静后，学生乙受生活模型，即上述糖水混合的启发，给出了如下证明.

2意外生成

2.1化学模型

有一种化学溶液，装在标号分别为1号，2号，…，n号的瓶中，其溶质和溶液的质量分别是（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），且浓度满足a1b1

若将1号，2号混合，其浓度为a1+a2b1+b2，所以有

a1b1

将1号，2号，3号混合，其浓度为a1+a2+a3b1+b2+b3，

所以有a1b1

依次類推，（*）式成立.

这个模型直观易懂，无需数学的逻辑推理，说出了（*）式的本质.

2.2几何模型

图2如图2，设AC1=a1，AA1=b1，A1D2=a2，A1A2=b2，A2D3=a3，A2A3=b3.

因为a1b1

显然有a1b1

a1b1

经过一番讨论，学生甲给出这个模型，全班学生无言，同学们对他们竖起了大拇指，一种成功感溢于言表，我也为弟子们的精彩表现而自豪.

3精彩应用

学生的精彩发现，让我对学生的思维有了更高的预期，于是我改动了例题，把原本当做思考题的题目作为课堂练习.

练习（2013年北大保送生）

已知：正数a，b，c，满足a

求证：a1+a

证明：因为ab+c+bc1+b+c+bc>b+c1+b+c>a1+a.

应用公式，学生很快给出了上述解答.学生意犹未尽，但此时铃声已响……

课后反思本课由于一位学生的疑问，引发了全班学生的思考.两个模型的建立，让学生产生兴奋惊奇，无字的证明，将课堂气氛推向高潮，扣人心弦.其间，老师及时捕捉学生灵光闪现的思维火花，调动学生积极参与，充分暴露学生的思维过程，才有如此大的收获.模型二实质上是对不等式链的几何解释.如何落实中学数学核心素养，设计具有挑战性的问题，深度学习，启发学生的高阶思维是个有效的途径，新课程以学生发展为本的口号喊了多年，然而，课堂教学真正体现这种理念，还需经常反思自己的教学行为.学生带着自己的知识、经验、思考、兴趣参与课堂活动，可以独立思考、个性化理解、自由表达，可以质问、怀疑、批判教师观点或教材观点，从而使课堂教学呈现出多样性、丰富性和随机性.这样的教学对教师提出了新的要求，不仅要有新的理念，还必须具有深厚的学科底蕴，才能把握课堂，使课堂教学焕发出生命活力.

作者简介王凤春（1962—），男，江苏徐州市人，上海市特级教师，上海师范大学数理学院硕士生导师.主要研究方向为中学数学教育和教育科研.出版《中学数学教育科研》等著作；解决了最优化问题中 Lagrange乘数法的相关问题，论文发表在《高等数学研究》.

张冰（1979—），女，湖北黄冈市人，中学高级教师，主要研究方向为高中数学教学和教育科研，宝山区学科带头人，宝山区教育学院高中数学兼职教研员.