一个杠杆问题的解法及推广

【摘要】用对函数求导确定驻点的方法，探究一个力学问题中两物体间作用力的变化规律，并将解决问题的方法作一推广.

【关键词】钢板；圆柱体；压力；杠杆平衡；三角函数

例题1如图1所示，一密度均匀的长钢板OA左端O点用铰链固定于地面，从钢板右方底下沿水平地面向左推进一个圆柱体铁桶，若不计摩擦，在铁桶缓慢左移的过程中，钢板对铁桶的压力[假设铁桶刚进入时钢板与水平地面的夹角足够小]（）.

A.逐渐变小B.逐渐变大

C.始终不变D.先变大，再变小

作为选择题，考虑“极端值”并采用淘汰法，很容易确定本题的答案是选项D——由题目条件“铁桶刚进入时钢板与水平地面的夹角足够小”可知，若铁桶直径相对钢板的长度足够小（只有这样才能保证开始“钢板与水平地面的夹角足够小”），铁桶剛进入时，钢板对铁桶的压力接近于钢板重力的一半，当铁桶向左前进相当长的距离后（比如前进的距离是钢板长度的一半），则相对于支点，铁桶对钢板压力的力臂几乎减小一半，而钢板与水平面的夹角可以几乎不变（我们可以设想钢板有铰链的一端在北京，另一端在上海，铁桶只是直径为30cm的普通铁桶，就可以想象出在铁桶向左推进过程中钢板与水平地面夹角的变化情形了），所以，开始的过程，铁桶与钢板间的压力应该不断的增大，而当钢板与水平地面的夹角接近于90°时，钢板与铁桶之间的压力趋向于0，变得很小，所以，我们可以将题目所给4个选项中的前三个淘汰，而得出本题的正确选项D.

图1图2然而，如果本题不是选择题，而是一道问答题——“在钢板从右端缓慢推进过程中，钢板对铁桶的压力如何变？”，或者，题目虽然依然是选择题，但作为教师的我们想弄清楚在铁桶的整个运动过程中，钢板与铁桶间压力的变化规律，那么，就需要对两者间的压力进行定量分析.下面，我们将本题作为问答题进行解答.

分析在铁桶向左缓慢移动的的过程中，铁桶对钢板压力的作用点位置和方向都在不停的变化，而且钢板与水平面的夹角也在不断增大.设钢板与水平地面的夹角为θ，显然，当钢板的长度、重力和铁桶的直径大小等物理量确定之后，对于每一个确定的θ值，铁桶都有唯一的位置与之对应，此时，铁桶对钢板压力的大小便唯一确定下来了，所以，铁桶与钢板间压力的大小是钢板与水平面夹角θ的函数，函数关系式一旦确定下来，我们就可以确定铁桶与钢板之间压力的变化范围，当然也是钢板对铁桶压力的变化范围.

解析如图2所示，设钢板长为L，重力是G，铁桶直径为R，钢板与水平面的夹角为θ时铁桶对钢板的压力是F，以铰链点O为质点，由杠杆平衡条件可得：F·Rcotθ2=G·12Lcosθ.

所以F=GLcosθ2Rcotθ2=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）

F对θ求导，令导数为0，确定函数的驻点——

由F′=GL2R（-sinθtanθ2+12cosθsec2θ2）=0得：

sinθtanθ2=12cosθsec2θ2

所以tanθtanθ2=12sec2θ2

利用2倍角三角函数公式，将等式中的不同角度的三角函数转化为同一角度的三角函数，可得：

4tan2θ21-tan2θ2=sec2θ2

所以4sin2θ2cos2θ2-sin2θ2=1cos2θ2

所以4sin2θ21-2sin2θ2=11-sin2θ2

令x=sin2θ2，则有：4x1-2x=11-x

整理得：4x2-6x+1=0

所以x=6±208=3±54（将大于1的舍去），故有：sin2θ2=3-54

因为sinθ2>0，故有：

θ=2arcsin3-54=2arcsin6-258=2arcsin（5-1）28=2arcsin10-24

因为函数F=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）在其定义域内只有唯一的一个驻点θ=2arcsin10-24，且当θ=π2，压力F=0最小，所以，驻点处的函数有最大值，因此，本题的正确选项是D——先变大，再变小.

那么，当钢板下的圆柱体铁桶改为其它形状的物体时，在不考虑摩擦的情况下，答案是否还是如此？

例题2如图3所示，一长度为L密度均匀的长钢板OA的重力为G，左端O点用铰链固定于地面，从钢板右方底下沿水平地面向左推进一棱长为a的正方体，若不计摩擦，在正方体缓慢左移的过程中，求钢板对正方体压力的变化范围[已知正方体的棱长a与钢板长度L间的关系为a<22L]

图3图4解析如图4所示，由于没有摩擦，所以正方体与钢板之间只存在正压力，不存在切向作用力，因此，正方体对钢板的作用力垂直于钢板.仿照例题1的解法，以O为支点，由杠杆平衡条件得：

F·asinθ=G·L2cosθ

所以F=GL2asinθcosθ=GL4asin2θ

所以F′=GL2acos2θ

由F′=GL2acos2θ=0得：θ=π4

由于在自变量的取值范围内，函数F=GL4asin2θ只有唯一的驻点θ=π4，而当θ→π2时，钢板与正方体间的压力F→0，所以，当θ=π4时，钢板与正方体间的压力存在最大值，此最大值Fmax满足：

Fmax·2a=G·L2·22

解得：Fmax=LG4a.

因此，在正方体缓慢左移的过程中，钢板对正方体压力的变化范围是0≤F≤LG4a.

作者简介王伟民（1964—），男，本科学历，中教高级.曾荣获太和县优秀教师、太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称号；在《物理通报》、《物理教学》、《物理教学探讨》、《物理教师》、《中学物理教学参考》、《中学地理教学参考》、《中学生物教学》、《中学数学教学参考》、《中学数学杂志》、《中小学数学》等期刊发表论文140余篇.