气动力降阶模型的优化识别方法

张 珺，李立州，罗 骁，张新燕

(1 太原学院 数学系， 太原 030001; 2 中北大学 机电工程学院， 太原 030051)

基于CFD和CSD耦合的数值求解方法是研究叶片和机翼气动弹性振动的主要方法[1-5]，但其计算效率极低[6-16]，工程应用不便。气动力降阶模型(aerodynamic reduced order model,aerodynamic ROM)是描述扰动对叶片和机翼气动力影响的简化数学模型[6]。通过气动力降阶模型研究叶片和机翼的气动弹性振动已成为重要方向。Silva[6]提出了线性和非线性气动力Volterra级数降阶模型；Su等[7]用Volterra级数降阶模型研究了叶栅的颤振，认为降阶模型的计算效率极高；Liou[8]用Volterra级数法研究了跨音速条件下叶片的颤振；He[9]用谐波平衡法(harmonic balance)研究了含分离流动的叶片流场； Ekici等[10]用谐波平衡法研究了叶片颤振，认为该方法与势流理论符合较好；Ashcroft等[11]用谐波平衡法研究了亚音速和跨音速二维压气机叶栅的颤振特性，发现该方法可以准确地预测颤振；Balajewicz[12]研究了多输入多输出Volterra级数的气动力降阶模型；Skujins[13]用降阶模型研究了高超声速飞行器的动态气动力；Jirasek[14]用降阶模型研究了X-31的动态气动力；Wang[15]建立了基于Tchebyshev多项式的二阶Volterra气动力降阶模型；Milansese[16]用连续的脉冲识别了Volterra降阶模型的核函数。

目前，气动力降阶模型核函数都采用脉冲法或阶跃法识别。对于多输入多输出的问题，需要多次的CFD计算或者试验。为减少气动力降阶模型识别时CFD模拟或气动力试验的次数，本文提出为每一个核函数建立一个拟合曲线，通过优化曲线的参数，使气动力降阶模型的气动力输出和CFD模型试验结果一致，以此辨识多输入多输出气动力降阶模型的核函数。

1 气动力降阶模型的优化识别方法

1.1 时变系统的Volterra级数降阶模型

对于均匀采样的时变系统，其离散的Volterra 级数模型可以写为[10]：

(1)

1.2 基于Volterra级数的叶片气动力降阶模型

本文以二维叶片位移扰动引起气动力变化为例，介绍叶片气动力降阶模型核函数的优化识别方法。叶片模型如图1所示，叶片的扭转和弯曲引起叶片气动升力和升力矩的变化，该系统模型可以用{CL(t),CM(t)}=Ψ{v(t),α(t)}表示。α和v分别为叶片的扭转和弯曲位移，CL和CM为升力和力矩。

该系统的一阶Volterra级数气动力降阶模型可表示为：

(2)

1.3 核函数的优化识别方法

现有气动力降阶模型的核函数采用阶跃和脉冲信号识别。用阶跃信号辨识出的核函数比较稳定且能部分地反映系统的非线性特性，因此在实践中应用较为广泛。用阶跃信号识别核函数的步骤是：首先获得叶片的稳态流场和气动力，然后在稳态流场上增加单位阶跃的扰动，获得在该阶跃扰动下叶片气动力的响应，最后用如下公式计算气动力降阶模型的核函数：

(3)

① 用CFD或者试验获得已知扰动下叶片的气动力响应；

② 确定气动力降阶模型的输入输出变量和核函数的阶次；

③ 为每一个核函数建立一条拟合曲线；

④ 用核函数的拟合曲线代替核函数，构造气动力降阶模型；

⑤ 优化所有的核函数拟合曲线的参数，使气动力降阶模型的输出与CFD或试验得到的气动力一致。

2 算例验证

为验证本文提出的方法，以图2叶片为对象，建立气动力降阶模型。取中间叶片的弯曲位移和俯仰角为输入，取中间叶片的气动力为输出。采用CFD模型获得输入输出之间的关系。CFD模拟采用fluent，空气，理想气体，Spallart-Allmaras粘性模型，无滑移壁面，叶片流场进、出口见图2。出口压力101 325 Pa，进口总压120 500 Pa，温度为300 K，进气角30°。求解时，确定先求得稳态流场，求得叶片的升力h0为-797 N，力矩u0为 -12.22 N·m。在稳态流场的基础上，用udf程序调整不同时刻中间叶片的弯曲位移和俯仰角，进而获得位移扰动条件下叶片的气动力，用于核函数的辨识。

根据模型识别理论，系统的激励信号必须充分激励系统所有模态。因此，在本文中噪声信号被用做叶片的扰动。叶片的弯曲位移扰动采用v=0.000 1×(random(t)-0.5)，叶片的俯仰角扰动采用α=0.1×(random(t)-0.5)。用udf将该信号加载到叶片fluent模型上，得到叶片的气动力，见图3和图4。

为了验证核函数的精度，图5也给出了直接用阶跃信号识别的核函数。从结果来看：用优化方法识别的核函数和用阶跃方法识别的核函数完全相同。这说明了本文提出方法是可行的。另外，考虑到本文的方法可以一次性识别多输入多输出系统所有的核函数并且具有平均和容错能力，因此本文的方法具有更大的优势。

将优化得到的核函数和阶跃信号得到的核函数代入叶片气动力降阶模型，计算噪声信号下叶片的气动力，结果见图3和图4。为方便比较，用CFD模型计算的叶片气动力也显示在图3和图4中。从图3和图4 可以看出，降阶模型和CFD模型得到的叶片气动力结果完全一致。这进一步说明了本文提出方法是可行的。

3 结论

现有研究通过阶跃响应和脉冲响应得到气动力降阶模型的核函数。对于多输入多输出问题，需要多次进行CFD模拟或试验，计算或试验的工作量巨大。为解决这一问题，本文提出采用优化方法识别气动力降阶模型核函数，其基本思想是：为每一个核函数建立一个拟合曲线；用优化方法调整拟合曲线的参数，使气动力降阶模型的结果和CFD或试验结果一致，一次性获得所有的核函数。

二维叶片气动力降阶模型核函数的辨识结果表明：优化得到的核函数与用阶跃方法识别的结果完全相同，说明本文提出方法是可行的。另外，考虑到本文的方法可以一次性识别多输入多输出系统所有的核函数，并且具有一定的容错能力，因此本文提出方法具有更大优势。

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