以一道模考题为例谈解题教学的“取向”

江苏省江阴市华士高级中学 (214421)

邹少兰 沈亚军

已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围为 ．

本道题年级理科班240个学生中只有一个人答对，正确率几乎为零.而笔者通过研究发现解决此题的方法颇多，具有较大的研究价值.为此，笔者针对此题专门开设了一堂“一题多解，织线成网”的专题课，尝试着通过这节课的学习让学生掌握求值域问题的通法和特殊方法；夯实双基，把学习过的知识融会贯通；将各种独立的知识线条连接成知识网络，学会从多个角度分析问题，培养发散思维，提高解题能力.

1.从学情出发，夯实双基

然而由于条件x2+2xy+4y2=6的限制，xy并不能取到任意实数.学生利用基本不等式只得出最小值，而最大值被忽略了.

综上,z∈[4,12].

综上,z∈[4,12].

学生在解决多元变量问题时常会利用基本不等式实现积与和的转化，但他们忽略了基本不等式只能求出范围的一端也就是最值，说明学生对基本不等式知识的掌握还不够牢固.法一法二从学生的学情出发，在学生解题的基础上加以修正，在夯实基础的同时使解题更完整更严谨.

2.在能力上提升，融会贯通

多变量的最值问题的通法是将变量减少至一元变量，然后利用一元变量求最值的方法解答.

∵t≥0，(6-t)2≥0，方程(**)必有正根，∴Δ≥0得t∈[4,12]，即z∈[4,12].

这四种方法都是将二元变量转化成一元变量的常用方法.通过这四种解题方法引领学生从不同视角观察研究问题，既得出了通性通法，也让学生感受各类相互独立的知识之间存在着千丝万缕的联系，只有融会贯通地运用数学知识才能使解题道路更宽阔，思维能力得以提升，知识结构得以完善.

3.于方法处飞跃，引而伸之

导函数是求函数最值问题的常用方法，而对于多元变量我们也可以使用偏导数来解决.

综上,z∈[4,12].

z=f(x,y)除受定义域的约束外，还受φ(x,y)=0条件的限制，这样的极值问题称为条件极值，条件极值问题均可以用拉格朗日数乘法和几何模型法来解决.

虽然法七和法八运用了高等数学知识，但这两种方法也是解决多元最值的通法.类比一元函数的导数，多元函数的偏导数学生较好理解.在解决难题时，这未尝不是一种新法.

4.结束语

“工欲善其事，必先利其器”，一题多解可以让学生多角度考察问题，能让学生掌握更多的解题方法，把这些思想方法互相渗透，能促进学生思考能力的提升，在遇到问题时有所选择.教师若能在课堂教学中体现一题多解的思想，必能让课堂更高效.