飞行器射前瞄准误差概率分析与控制

张志勇 刘立辉 王 涛 段婧婧 田冠锁 周 军 潘建业 王 魁 王占涛

(1.中国运载火箭技术研究院，北京 100076； 2.北京航天计量测试技术研究所，北京 100076)

1 引 言

飞行器在发射前通过外部定向瞄准系统或自主对准、传递对准获得自身惯性导航装置测量坐标系的初始方位角，这一过程常被广义简称为瞄准。瞄准精度不仅在飞行器纯惯性导航飞行状态下直接影响落点精度，即使在组合导航状态下也与飞行器修正能力、末制导寻的能力等直接相关。

鉴于瞄准结果对飞行器正确飞行的重要性，在研制阶段，需要进行充分的地面试验以验证飞行器系统具备的瞄准精度；在执行发射任务时，对于飞行器临射前获得的瞄准数据，无论源自外部方位基准还是自对准，通常也均采取进一步措施来保证其值在合格范围内。

2 瞄准误差的概率分布

飞行器的瞄准误差是随机的。自然世界中随机变量的分布规律多种多样，正态(常态)分布(normal distribution)(又名高斯分布(Gaussian distribution))是其中表现最为广泛的一种形式，是自然科学研究的一个便捷模型。许多物理现象都被发现近似服从正态分布，尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多微小作用叠加起来看作一个变量，那么这个变量服从正态分布(R.N.Bracewell在《Fourier transform and its application》中进行了简单证明)；正态分布是一些离散分布和连续分布的极限分布[1]。

对于飞行器射前瞄准结果，既可以源自简单的光学直接瞄准，也可以由复杂的地面设备与飞行器上设备的测量数据综合解算得到。为此选取两种系统的实装试验数据分析瞄准误差与正态分布的相合性。

2.1 简单形式的光学直接瞄准误差

这一瞄准形式为有依托阵地地面光学瞄准仪器对准飞行器导航装置瞄准棱镜，涉及输入量不到10个；标准值由基于相同原理的高精度仪器获得。

试验使用多台不同装备，由不同人员，在不同地点、不同季节和时段开展，累计进行93次瞄准操作，解算获得瞄准误差结果数据如下：

exS= [-12.2, 13.4, 28.6, 21.3, 21.1, 11.5, -0.1, -26.2, -17.7, -12.6, -5.3, -10.4, -39.0, -14.1, -14.0, 31.4, 12.3, 19.4, 17.2, 1.3, -13.3, -3.7, 55.4, -23.5, -17.6, -8.7, 5.7, -5.3, 11.2, -10.8, -18.8, 13.2, 1.8, -5.8, 7.7, 1.9, 16.7, 54.5, 55.3, 34.8, 28.7, 11.1, -37.2, -35.4, 2.2, -3.3, -5.6, 3.8, -2.5, -12.0, 2.9, 18.5, -9.1, -5.0, -3.1, -2.0, 23.9, 19.6, 4.6, 21.9, -4.1, -13.0, 22.9, 17.6, -11.6, -7.5, 3.2, -39.9, 15.2, 37.0, 3.2, 0.0, 29.8, 7.3, 3.7, 11.7, -38.8, -23.3, -23.5, 7.0, -4.3, 8.1, -6.0, 10.6, 0.3, -7.3, 10.4, -3.6, 4.2, 5.7, -5.3, -8.4, -11.5]

采用两种方法对该样本对应的总体分布是否符合正态分布进行检验。

2.1.1χ2检验

设瞄准误差总体对应随机变量ξS，其概率分布为F(x)。前述exS则为其中一个样本的观测量，其样本均值MexS=2.0，样本方差VexS=370.0。

检验假设H0：ξS～ N(2.0, 370.0)，即

取6个分点将总体ξS分为 (-∞,t1], (t1,t2], (t2,t3],…, (t9, +∞)共7个区间，记Pi(i= 1,2,…,7)为总体ξS取值落入第i个区间的概率。

对于N(2.0, 370.0)，取

t1=-20,t2=-10,t3=0,t4=10,t5=20,t6=30

有

P1=0.126 4,P2=0.140 0,P3=0.192 2,P4=0.202 7,

P5=0.164 0,P6=0.101 9,P7=0.072 7

记mi为样本观测值exS落入第i个区间的频数，有

m1=9,m2=14,m3=22,m4=18,m5=16,

m6=8,m7=6

建立统计量

(2)

取显著性水平α=0.05，拒绝域为

(3)

而由(2)式有

χ2|exS=2.061 4

2.1.2 图形检验

建立前述样本观测值exS的分位数图(QQ图)，也可以直观地看出简单形式瞄准误差是服从正态分布的。与按N(2.0, 370.0)生成随机值建立的QQ图比较，进一步验证了这一结论。如图1所示。

使用正态分布概率密度纸绘制简单形式瞄准误差样本，同样支撑前述结论。如图2所示。

(a) 简单形式瞄准误差样本(a) Simple pattern alignment error sample

(b) 标准正态分布随机样本(b) Standard normal random sample

图2 正态分布概率密度纸绘制简单形式瞄准误差样本Fig.2 Simple pattern alignment error sample plotted on normal P.D. paper

2.2 复杂形式的惯性+光学间接瞄准误差

这一瞄准形式使用飞行器和地面两套惯性测量装置的陀螺仪与加速度计预标和实时数据、自准直光管预标和实时数据、基准转换装置加速度计与棱镜预标和实时数据等，涉及输入量超过100个；标准值由基于有依托阵地地面光学直接瞄准原理的高精度仪器对准飞行器导航装置瞄准棱镜获得。

试验使用多台不同装备，在不同地点、不同时段开展，累计进行63次瞄准操作，解算获得瞄准误差结果数据如下：

exC=[ -52.4,7.3,52.6,-21.6,-32.5,-27.1, -38.1,-42.1,-30.2,-24.7,-51.3,-40.7,-45.2,-20.0,-33.5,-31.6,-42.1,-52.6,-29.7,-19.5,-43.8,-33.0,-40.6,-106.2,-100.4,-85.2,-30.8,-22.1,-0.8,-60.8,-58.4,-35.5,-54.8,-43.4,-35.0,-70.5,-16.1,-41.4,-38.4,-79.1,-53.1,-71.0,43.3,-46.3,-80.1,-83.2,20.0,-74.1,84.6,-74.1,-67.7,-61.2,-76.6,-83.3,-87.8,-64.9,-56.8,-79.3,-71.2,-9.9,-12.0,-9.0,-33.2]

2.2.1χ2检验

设瞄准误差总体对应随机变量ξC，其概率分布为F(x)。前述exC则为其中一个样本的观测量，其样本均值MexC= -41.6，样本方差VexC= 1 211.3。

按前述方法，取

t1=-80,t2=-64,t3=-48,t4=-32,t5=-16,t6=0

计算可得

χ2|exC=6.024 7

2.2.2 图形检验

通过exC的QQ图，同样可直观地看出复杂形式瞄准误差也是服从正态分布的。与按N(-41.6, 1 211.3)生成随机值建立的QQ图比较，同样进一步验证了这一结论。如图3所示。

图4是使用正态分布概率密度纸绘制复杂形式瞄准误差样本的情况，亦支撑前述结论。

(b) 标准正态分布随机样本(b) Standard normal random sample

图4 正态分布概率密度纸绘制复杂形式瞄准误差样本Fig.4 Complex pattern alignment error sample plotted on normal P.D. paper

3 试验次数与精度可信度

瞄准误差是随机变量，通过有限次数的试验、有限容量的样本不能精确获知包含未来的无限总体的数字特征。基于瞄准误差服从正态分布，在总体期望(均值)与方差未知的情况下，可以按给定置信度对数字特征进行估计。

理论上，系统的误差均值可以通过方案设计(例如在线自调零)或生产、检测工艺等途径加以抑制，而方差表征系统输出结果的离散程度，在通过有限次试验推断将来系统正式工作时的精度表现方面尤为重要，故此对样本方差的可信度展开分析。

则置信区间为

可见区间端点是试验次数(样本容量)n的函数。

设自由度为ν的χ2分布关于上分位点α的累加函数为F(α|ν)，有

其中

(5)

设置信区间左端点关于n的函数为lci(n)、右端点关于n的函数为rci(n)，有

(6)式、(7)式函数曲线如图5所示。

(a) 左端点函数(a) Left end-point function

图5 方差置信区间端点函数曲线
Fig.5Curves of variance confidence interval end-point function

可以看出，左端点函数关于n单调增加，值小于1；右端点函数关于n单调减小，值大于1。即试验次数越多，置信区间越窄，获得的样本方差表征总体方差越精确。

表1列出了若干试验次数对应的总体方差0.997置信区间宽度系数，图6为两者关系的图形化表示，可以看出，在试验次数少于100时，置信区间宽度受试验次数影响很大，其后增加试验次数，效果并不非常显著。

表1方差0.997置信区间宽度与试验次数的关系

Tab.1Relationbetweenvariance0.997confidenceintervalwidthandexperimentfrequency

类似地，可以建立服从t分布的随机变量，对总体期望进行估计。图7为总体期望0.997置信区间宽度与试验次数的关系曲线，可见前述关于方差的结论同样适用。

图7 期望0.997置信区间宽度与试验次数的关系Fig.7 Relation between expectation 0.997 confidence interval width and experiment frequency

4 射前瞄准精度保障措施

根据前述分析，对飞行器瞄准精度的确定需要大容量样本支撑，这在工程上可能难以实现。对此，在执行飞行试验任务时，可采取配置瞄准校准系统的措施来进一步控制飞行器瞄准精度。

设飞行器射前方位对准(瞄准)允差为εT，飞行器瞄准系统(A)误差指标为εA(εA<εT)、当次瞄准结果为zA，瞄准校准系统(C)误差指标为εC(εC≤εA)、当次瞄准结果为zC，|zA-zC|的判别阈值为th。(注：关于误差的指标均取正值。)

对于判别阈值的设置，可以采取极值处理方法，本文也提出基于概率的处理方法。

4.1 基于极值的阈值

对于同一个指标，控制漏判和错判不能兼顾。为确保发射后飞行任务成功，判据(判别阈值)选择以保证飞行器射前不出现漏判为原则。

设定飞行器方位对准结果zA与校准系统结果zC的差值的合格判据为不大于th=εT-εC，则在zC误差达到极值且zA、zC误差同向的最差情况下，也能够保证不出现漏判，为飞行器导航提供可接受的方位初值；另一方面，在一定程度上，例如zA误差不大于th-εC(不小于0)、zC误差达到极值且zA、zC误差反向时，也能够保证不会错判。

4.2 基于概率的阈值

图8 描述同一物理量的两个随机变量Fig.8 Random variables describing the same physical quantity

为保证瞄准系统的输出结果可用，应有

Tr∈[zA-εT,zA+εT]

(8)

现以更高精度的ζC描述(8)式的概率，有

P{ζC≤zA+εT|zC}-P{ζC≤zA-εT|zC}=0.997

(9)

(9)式概率值与两个随机变量均值的间距(|zA-zC|)相关而与变量均值的位置无关，可简述为th=f(εT,εC)。在εT和εC确定后，可利用MATLAB工具计算出th值。

可进一步验证，基于概率确定的合格判据(th值)相比基于极值确定的判据略为宽松，在真实世界更具合理性，在依概率保证精度的同时，也提升了飞行器发射流程的顺利性。

5 结束语

通过以上分析，表明无论简单或是复杂的飞行器瞄准系统，所得瞄准结果服从正态分布；为更准确地通过样本表征正态总体，瞄准系统精度试验应充分开展(宜不少于100次)；通过配置瞄准校准系统，基于正态分布概率确定对瞄准结果的判别阈值，能够更有效地保证飞行器发射任务的圆满完成。

[1] rns521. 正态分布[EB/OL]. (2011-11-09) [2017-10-20]. http://blog.csdn.net/rns521/article/details/6953591.

[2] MathWorks. MATLAB Product HelpDoc[CP/DK]. U.S.: The MathWorks, Inc, 2015.