平面向量相关题目解题方法

魏玉婧

摘 要：平面向量既有大小又有方向，关于向量运算与代数运算差别很大，这一定程度上加大了向量题目的难度，但平面向量广泛运用于物理学和数学，因此熟练掌握平面向量的解题方法必不可少。目前，各类教辅资料上所总结的解题方法鱼龙混杂，让处于学习阶段的学生整理出适合自己的解题方法难度较大。针对这种现象，作者整理出四种常用且通俗易懂的解题方法，并以解题思路的形式来展现。

关键词：平面向量;解题方法

一、坐标法

坐标法是所有方法中适用范围最广，最容易操作的方法。先建立一个平面直角坐标系，再利用已知条件构造一个图形，标记图中特殊点的坐标，用坐标表示出向量，根据已知条件列出方程进行计算。但其实较难的题目的方程并不可以直接得出答案，这就要求我们再次结合坐标系二次解答。值得一提的是，当题目中的三角形、四边形等多边形没有规定图形时，可以构造一个特殊的图形。

例题1：已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且■=x■，AN=y■，则■的值为（   ）

A.3   B.■  C.2   D.■

题目分析：本题的条件较少，若要在有限的的时间里取得更高的分数，可以选择建立坐标系以及特殊三角形来“以偏概全”，因为这种类型的题目一般都是对于任何三角形都适用的结论。

解题过程：

设△ABC是正三角形，G是△ABC的重心，AB=AC=BC=2

∵■=（-1，■） ■=（1，■）

∴■、■、■共线

∵■=（-x，-■x） ■=（y，-■y） ■=（0，-■）

∴■=？姿■+（1-？姿）■

∴0=-？姿x+（1-？姿）y-■=--■？姿x-（1-？姿）■y ∴x=■yy=■

答案为B

二、合成法

合成法可以适用于有图像的题目，两个向量可以合成特殊的向量或图中已知的向量，也可以适用于纯向量计算，如向量AB与向量BC可以合成向量AC，首先可以减少题目中的向量数目，使题目更加简洁，其次可以更清晰直观的看出向量之间的联系，是解决这一类题目很好的方法

例题2：如图所示在正六边形ABCDEF中，若AB=1，则|■+■+■|等于（   ）

A.1  B.2  C.3  D.2■

题目分析：因为是正六边形，并且向量都是在图中可以找到，所以利用合成的方法，将AB和FE合成，再用新的向量与CD合成，最后求模，如图

解题过程：

已知AB=1，则DH=2DC=2AB=2，答案选B

三、图像法

图像法是最快的方法，因为所有的向量都是建立在图像的基础上，图像可以清楚的展示出各个向量之间的联系，同时也是判断向量之间夹角大小的“捷径”，利用图像可以大致判断夹角的余弦正负，以及夹角的位置

例题3：已知■⊥■，|■|=|■|=1，|■-■-■|=1，求|■|的范围

题目分析：已知■， ■的夹角和模，且题目中隐含■+ ■的条件，可以使用图像法

解题过程：

题目中的|■-■-■|可转变为|■-（■+■）|，所以就转变为求O点到圆上距离的范围，半径为1，取值范围是（■-1，■+1）

四、分解法

分解法在数学题中一般以用不共线的两个向量为基底来分解的形式出现，将不熟悉的向量分解为熟悉的两个向量再来进行运算，思路会更清晰。在物理學中分解法又称为正交分解，常运用于解决牛顿三定律相关问题，且经常是将一个力分解为水平与竖直，利用物体的运动状态来确定该物体在水平和竖直方向的受力问题，从而列出相关方程解得答案。

五、结论

这四种方法常用于解平面向量问题，一个看似很难的题目，若选择对的方法即可“化难为易”，再辅助一些其它定理如：重心比例、角平分线比例、正弦定理、余弦定理等方便解题的定理，一个难题就可成功解决。