各类光伏方阵面辐照度的计算

国家发展和改革委员会能源研究所 ■ 王斯成

0 引言

对于倾斜光伏方阵面辐射量的计算，国内外已有很多研究，但是绝大多数文献仅限于简单的固定方阵[1,2]，虽然也有对于太阳跟踪方阵的研究[3](被RetScreen采用)，但并未系统地对不同坐标系的太阳跟踪器进行定义和区分，也没有对于各种光伏方阵和太阳跟踪器给出完整的方阵面辐照度计算的数学模型。本文在文献[4]的基础上，对地平坐标系和赤道坐标系太阳跟踪器进行了定义和分类，从太阳和地球的运行规律及球面三角的基本原理推导出了不同坐标系下方阵面太阳入射角、方阵倾角和方阵面辐照度的完整计算方法和计算公式，为正确计算光伏方阵面(包括背表面)辐照度和辐射量提供了理论依据。

1 基本定律

为了推导光伏方阵面辐照度的数学模型，必须先了解下面几个基本定律：球面三角边的余弦定律、太阳辐射的直散分离原理、太阳高度角的计算公式和太阳入射光的余弦定律。

1.1 球面三角边的余弦定律

球面三角边的余弦公式[5]可用文字表达为：球面三角形任意边的余弦等于其他两边余弦的乘积加上这两边的正弦及其夹角余弦的连乘积。

图1为球面三角形的边角示意图，其中，a、b、c代表边，A、B、C代表角。

图1 球面三角形的边角示意图

边a的余弦定律为：

1.2 余弦定律

余弦定律为：任意倾斜面的辐照度同该表面法线与入射线方向之间夹角的余弦成正比。图2为太阳直接辐照度的关系图，其中，SH′为水平面的太阳直接辐照度；SD′为太阳直接辐照度；ST′为倾斜方阵面的太阳直接辐照度；θ为任意时刻太阳直射光的入射角；θZ为太阳天顶角，是太阳射线与天顶轴的夹角；α为太阳高度角，是太阳射线与地平面的夹角，范围在0°～90°；Z为光伏方阵倾角。

图2 太阳直接辐照度的关系图

由图2可推导：

所以，

1.3 太阳高度角的公式

太阳高度角α的表达式可由球面三角原理导出[3]。图3为太阳高度角和地平面的关系图，其中，与水平面垂直的轴是天顶轴，天顶轴和太阳射线在天球上可以组成一个球面三角形。根据球面三角边的余弦定律(见式1)，可以导出太阳高度角α的正弦公式(见式5)[3]。

图3 太阳高度角和地平面的关系图

由于：

a：太阳天顶角θZ，

所以：

因此，代入式(1)，可以导出太阳高度角α的正弦表达式为：

式中，φ为当地纬度(0˚～90˚)，是所在地法线与地心的连线与赤道平面的夹角，有北纬、南纬之分；ω为时角(地球自转一周360˚，24 h)，即15˚/h或1˚/4min，正午为零，上午为正，下午为负；δ为太阳赤纬角，是阳光射线与赤道平面的夹角，太阳照射到北半球时为正，照射到南半球时为负，春秋分时为零，一年中太阳赤纬角的变化规律如图4所示。

著名的计算太阳赤纬角的Cooper方程为：

式中，N为从1月1日起算的天数。

图4 一年中太阳赤纬角的变化图

1.4 直散分离原理[1]

水平面和倾斜面上所接收到的辐射量均符合直散分离原理，即总辐射等于直接辐射与散射辐射之合，只不过水平面所接收到的辐射量没有地面反射分量，而倾斜方阵面上所接收到的辐射量包括地面反射分量。

光伏方阵面上所接收到的全部辐射量的公式为：

式中，QH为水平面接收到的日总辐射量；SH为水平面接收到的日直接辐射量；DH为水平面接收到的日散射辐射量；QT为倾斜方阵面接收到的日总辐射量；ST为倾斜方阵面接收到的日直接辐射量；DT为倾斜方阵面接收到的日散射辐射量；RT为倾斜方阵面接收到的日地面反射辐射量。

同理，倾斜方阵面上的总辐照度QT′可表达为[1]：

式中，DT′为倾斜方阵面上的散射辐照度；RT′为倾斜方阵面上的地面反射辐照度。

由式(2)和式(4)可得：

倾斜方阵面上的散射辐照度DT′ 可表达为：

式中，DH′为水平面的散射辐照度；Z′为任意时刻的光伏方阵倾角(0˚～90˚)。

倾斜方阵面上的地面反射辐照度RT′可表示为：

式中，ρ为地面反射率；QH′为水平面的总辐照度。

由上面的公式可知，光伏方阵面上所接收到的散射辐射和地面反射被认为是各向同性的，与太阳光的入射角度无关。而光伏方阵所接收到的天空散射与光伏方阵面的视天空比例有关：光伏方阵水平向上，光伏方阵倾角Z为0°，视天空为100%，DT′=DH′；光伏方阵水平向下，Z为180°，cosZ=-1，视天空为零，DT′=0；方阵垂直安放，则Z为 90°，视天空为 50%，DT′=1/2DH′。同样，光伏方阵所接收到的地面反射与光伏方阵面的视地表比例有关，不再赘述。

由式(9)～式(12)，光伏方阵面总辐照度可描述为[1]：

由此可知，光伏方阵面总辐照度的计算需要5个变量：水平面的总辐照度QH′；水平面的太阳直接辐照度SH′；水平面的散射辐照度DH′；任意时刻太阳直射光的入射角θ；任意时刻的光伏方阵倾角Z′。

1.5 关于倾斜面散射辐射计算模型的特别说明

上述散射辐射模型假设天空散射各向同性，但经过实际测量和验证，该假设仅适用于低辐照、多云和阴天情况，而对于晴朗天气，应当采用各向异性的散射辐射模型。而对于各向异性的散射辐射模型，主要有Hay模型[6]、Klucher模型[7]和Perez模型[8-9](被PVSyst采用)，杨金焕也有相关论文述及[10-11]。

到底采用各向同性还是各向异性模型，以及到底采用哪一种各向异性模型，并不是本论文的研究重点，设计者可以根据自己的情况来确定需要选择采用哪种模型。

即使采用各向异性散射模型，仍然需要获得本文1.4节所列出的相关变量，主要散射辐射各向异性模型的公式如下：

1) Hay 模型[6,8,10]：

式中，K为地面日总辐射量与大气层上界日辐射量之比(复合大气透明度)。K可用式 (15)求得：

式中，Q0为大气层上界日总辐射量。

式中，S0为太阳常数 1367 W/m2；λ为日-地距离变化引起大气层上界太阳辐照度的修正值。

式中，n为从1月1日算起的天数。

2) Klucher模型[7]：

3) Perez模型(被PVSyst所采用)：

1986年模型[8]为：

或1990年的简化模型[9]为：

由各模型公式可以看出，这些各向异性模型倾斜面散射辐照度DT′ 也都是DH′ 、θ和Z′ 的函数，即DT′ =f(DH′ ,θ,Z′ )，只要有了DH′、θ和Z′ ，即使采用散射辐射各向异性模型，也可以顺利得出倾斜面散射辐照度。

各向异性散射辐射的详细计算过程请参考相关文献。(注：式(19)、式(20)中的F1、F2、a、b、c、d等都是原著中的经验参数，并非本文中使用的参数，详细的参数定义请见原著。)

2 水平面太阳辐照度的获得

从上节可知，水平面总辐照度QH′ 、水平面太阳直接辐照度SH′ 和水平面散射辐照度DH′ 是计算水平面太阳辐照度的基础。水平面太阳辐照度根据不同的数据来源，可通过下列几种方法获得。

2.1 通过气象台站和相关数据库取得

多年平均的水平面小时总辐射量和小时散射辐射量可以从当地气象站获得，如果当地气象站不能提供多年平均小时辐射量的数据，也可以从NASA、NREL、Mateonorm或PVSyst的数据库中得到；小时直接辐射量是小时总辐射量和小时散射辐射量的差值。

小时辐射量也可以看成是该小时的平均辐照度，对于固定光伏方阵的计算已足够，但对于太阳跟踪器方阵面辐照度的计算来说就远远不够了。如果需要更细的积分步长，可以通过插值的方法得到以分钟为步长的辐照度。

2.2 利用日总辐射量和日散射辐射量通过模型计算得到

很多气象站不能提供多年平均小时辐射量的实测数据，只能提供多年平均日总辐射量和日散射辐射量的数据。对于这种情况，我们可以采用文献[4]或文献[12]的方法获得小时辐射量(文献[12]的方法被RetScreen软件[13]所采用)，即以小时为步长的辐照度。

文献[12]的计算模型为：

式中，QH′为水平面小时平均总辐照度；DH′为水平面小时散射辐照度；SH′为水平面小时直接辐照度；rt为水平面小时总辐射与日总辐射的比值；rd为水平面小时散射量与日散射量的比值；ωr为日出时角；a、b均为原著中的经验系数，

2.3 利用日总辐射量通过模型计算得到

大多数气象台站只能提供多年平均水平面月总辐射量，多年平均水平面日总辐射量QH可以通过各月平均水平面日辐射量采用插值的方法取得[4]。有了多年平均水平面日总辐射量QH，就可以通过文献 [14]的方法(被RetScreen所采用)获得多年平均水平面日散射辐射量DH，模型如下：

有了QH和DH，就可以通过式(21)～式(23)求得QH′、DH′和SH′。

3 任意时刻太阳直射光的入射角θ的取得

为了求出任意时刻太阳直射光的入射角的余弦公式，必须先要了解2个不同的坐标系——地平坐标系和赤道坐标系，由此，太阳跟踪器可以分为地平坐标太阳跟踪器和赤道坐标太阳跟踪器。任意时刻太阳直射光的入射角在不同的坐标系中有着不同的描述，下面将分别进行介绍。

3.1 在地平坐标系中

在地平坐标系中，光伏方阵将地平面作为参照系。太阳的位置由太阳高度角和太阳方位角来确定。光伏方阵和太阳射线的关系如图5所示[3]，其中，β为太阳方位角，是太阳射线在地面上的投影与正南方向的夹角，正南方向为零，东为正，西为负；γ为光伏方阵任一时刻方位角，是方阵法线在水平面上的投影与正南方向的夹角，正南方向为零，东为正，西为负。

图5 光伏方阵与太阳射线在地平坐标中的关系

由于：

所以：

因此，代入式(1)，得到：

地平坐标系光伏方阵的安装方式有3种，分别为：固定式光伏方阵(含倾角可以按照季节手动调节的方阵)、太阳方位角跟踪光伏方阵和双轴跟踪光伏方阵(同时跟踪太阳的高度角和方位角)。图6为3种安装方式的示意图。

图6 地平坐标系光伏方阵的运行方式

1)对于固定式光伏方阵，方阵倾角全年固定或按照季节可调(在一天当中也是固定不变化)，方阵方位角一般朝向正南，则有Z′=Z，γ=0；代入式(27)，可得：

2)东西跟踪时，光伏方阵的倾角不变，只跟踪太阳的方位角，则有Z′=Z，γ=β；代入式 (27)，可得：

3)全跟踪时，光伏方阵始终跟踪太阳的高度角和方位角，则有Z′= 90°-α，γ=β；代入式 (27)，可得：

即入射角θ=0°，始终准确跟踪太阳。

3.2 在赤道坐标系中

赤道坐标系是以赤道平面和南北地轴作为参照系。在赤道坐标系中，太阳的位置由太阳赤纬角和太阳时角决定。按照赤道坐标系设计的用来跟踪太阳赤纬角和太阳时角的太阳跟踪器分为4种类型：平单轴东西向太阳跟踪器、平单轴带倾角东西向太阳跟踪器、极轴太阳跟踪器和双轴太阳跟踪器(同时跟踪太阳赤纬角和太阳时角)。图7为4种赤道坐标太阳跟踪器的跟踪示意图，图中，Ω为赤道坐标系中光伏方阵主轴的旋转角，正南为零，东旋为正，西旋为负。

图7 赤道坐标系光伏方阵的运行方式

平单轴东西向跟踪可以看成将光伏组件平铺在地面，方阵法线与天顶轴平行，平单轴光伏方阵和太阳射线的关系类似于太阳射线和地平面的关系(见前文图3和式(5))，如图8所示。

由于：

A=ω-Ω(光伏方阵需要东西向旋转) ；

所以：

图8 平单轴光伏方阵与太阳射线的关系

代入式(1)，可以得到平单轴东西向太阳跟踪器的θ的表达式为：

赤道坐标系其他类型的太阳跟踪器与平单轴东西向太阳跟踪器的差别仅仅是主轴的倾角不同而已。为了更清楚地推导θ的公式，图9给出了光伏方阵在球面三角坐标中的图示。图中，Z在赤道坐标系中为光伏方阵主轴倾角，极轴跟踪时有Z=φ；z在赤道坐标系中为光伏组件与主轴的夹角，与主轴平行时为零，南倾为正，北倾为负。

图9 赤道坐标系光伏方阵与太阳射线的关系

由于：

所以：

代入式(1)，可以得到赤道坐标太阳跟踪器的θ的通用表达式为：

1)平单轴东西向跟踪时：

理想条件下，Ω=ω，A=0°，Z=0°，z=0°；于是：

所以，θ=φ-δ。

2)平单轴带倾角东西向跟踪时：

理想条件下，Ω=ω，A=0°，Z=0°；于是：

所以，θ=φ-z-δ。

3)极轴跟踪时有：

理想条件下：Ω=ω，A=0°，Z=φ，z=0°；于是：

所以，θ=δ。

4)双轴跟踪时有：

理想条件下：Ω=ω，A=0°，Z=φ，z=-δ(春分之后δ为正值，但倾角减小；秋分之后δ为负值，但倾角增加)；于是：

所以，θ=0°，意味着光伏方阵准确跟踪太阳。

3.3 光伏方阵固定不跟踪时的情况

如果太阳跟踪器固定不跟踪时，θ的表达式应当与地平坐标系θ的表达式一致，以下来证明这一点。

1)平单轴东西向太阳跟踪器固定平放时：

地平坐标系有：Z′=0°，γ=0°；代入式 (27)，得到 cosθ= sinα。

赤道坐标系有：Z=0°，z=0°，Ω=0°；代入式(31)，得到 cosθ=sinφsinδ+cosφcosδcosω；

根据地平坐标和赤道坐标的参数变换式[4,15]：

可得 cosθ= sinα。

证实了赤道坐标系任意时刻太阳直射光的入射角与地平坐标系任意时刻太阳直射光的入射角的表达式一致的结论。

2)平单轴带倾角东西向太阳跟踪器固定安放时：

地平坐标系有：Z′=Z，γ=0°；代入式 (27)，得到 cosθ=cosZsinα+sinZcosαcosβ。

根据参数变换式(33)～式(35)可得：

赤道坐标系有：Z=0°，z=Z，Ω=0°；代入式 (32)，得到：

证实了赤道坐标系任意时刻太阳直射光的入射角与地平坐标系任意时刻太阳直射光的入射角的表达式一致的结论。

3)极轴太阳跟踪器固定安放时：

地平坐标系有：Z′=φ，γ=0°；代入式 (27)，得到 cosθ=cosφsinα+sinφcosαcosβ。

根据参数变换式(33)～式(35)可得：

赤道坐标系有：Z=φ，z=0°，Ω=0°；代入式(32)，得到 cosθ=cos90°sinδ+sin90°cosδcosω=cosδcosω。

证实了赤道坐标系任意时刻太阳直射光的入射角与地平坐标系任意时刻太阳直射光的的表达式一致的结论。

上述结果可说明这2个坐标系任意时刻太阳直射光的入射角θ的余弦公式完全正确。

4 任意时刻光伏方阵倾角Z′的取得

从式(13)可知，要想准确计算光伏方阵面的总辐照度，必须知道任意时刻的光伏方阵倾角Z′，下面分别就2个坐标系进行推导。

4.1 地平坐标系任意时刻的光伏方阵倾角

1)对于固定式光伏方阵，方阵倾角始终不变，总有Z′=Z；

2)对于太阳方位角跟踪光伏方阵，方阵倾角也始终不变，总有Z′ =Z；

3)对于双轴跟踪光伏方阵，方阵倾角始终等于太阳高度角的余角，有Z′ = 90°-α。

4.2 赤道坐标系任意时刻的光伏方阵倾角

为了推导赤道坐标系任意时刻的光伏方阵倾角，首先要给出光伏方阵在天球上的定位三角形[4]，如图10所示。

由于：

图10 赤道坐标系光伏方阵在天球上的定位三角形

A=Ω；

在赤道坐标系中，Z为光伏方阵主轴倾角，z为光伏组件在主轴上的倾角。

所以：

代入式(1)，可以得到赤道坐标系任意时刻的光伏方阵倾角的表达式为：

1)平单轴东西向跟踪时，Z=0°，z=0°；所以cosZ′= cosΩ，即Z′=Ω。

2)平单轴带倾角东西向跟踪时，Z=0˚；所以cosZ′= coszcosΩ。

3)极轴跟踪时，Z=φ，z=0˚；所以 cosZ′=cosφcosΩ。

4)双轴跟踪时，Z=Ω，z=-δ，Ω=ω；所以cosZ′= sin(-δ)sinφ+cos(-δ)cosφcosω。

5 方阵面太阳辐射量的计算

5.1 光伏方阵面日、月、年辐射量的计算

有了水平面总辐照度QH′、水平面散射辐照度DH′和水平面直接辐照度SH′，就可以根据式(10)～式 (12)求得倾斜面辐照度QT′、DT′和ST′；然后再对时角积分，即可得到每日的辐射量。由于本论文约定采用太阳时，上午下午对称分布，积分只需要从日出时角积分到正午(正午时角为0°)，然后乘2即可。公式为：

如果采用的水平面辐照度是小时平均值，则积分步长为15°(或1 h)；如果采用的是分钟级的辐照度，则积分步长需要相应变更。值得注意的是，积分步长应当与太阳跟踪器的动作步长相一致。

将式(37)～式(39)的结果代入式(8)，可得到日总辐射量QT。

各月和全年的方阵面总辐射量，可以先计算出一年365天的日总辐射量，然后将结果相加即可。

5.2 光伏方阵背面辐照度的计算

近年来，双面光伏组件的应用越来越普遍，在计算双面组件背面发电量时，需要计算出背表面所接收到的辐射量，而背表面辐射量的计算仍然需要知道任意时刻背表面的辐照度，其计算需要用到同样的5个变量：QH′、DH′、SH′、θ和Z′，计算公式与正表面辐射量的计算公式(见式(13))类似。

背表面辐射量QBT′ 的计算公式为：

式中，QBT′、SBT′、DBT′、RBT′分别为倾斜方阵背表面的总辐照度、直接辐照度、散射辐照度和反射辐照度。

说明：

1)春分之后，日出太阳方位角会大于90˚，对于固定方阵来说，在早晚会有一段时间的阳光是照在光伏阵列背面的，所以，背表面是会接收到直接辐射的；

2)由于方阵正面和背面的法线是同一根，所以背面直接辐照度的计算公式与正面的一致；

3)对于散射辐照度和反射辐照度，背面辐照度计算时只需要将正面计算公式括号中的加号、减号对调即可；

4)采用双面组件时，根据经验，组件的安装高度至少距离地面1 m；

5)背面属于低辐照度，不考虑散射辐射的各向异性；

6)计算暂时没有考虑不均匀度的影响。

6 结论

本文从太阳和地球的运行规律和相互关系出发，运用球面三角的几何原理，系统地推导出了不同坐标系中各种光伏方阵面上实时太阳辐照度的计算方法和公式，为光伏发电系统的设计提供了计算理论和工具。方阵面上实时太阳辐照度可用于以下几方面：

1)为各类太阳跟踪器跟踪太阳的原理提供了理论依据；

2)用于计算各类不同光伏系统在任何工况条件下日、月、年方阵面(包括背表面)的辐射量，进一步可以计算光伏系统的发电量；

3)可以得到太阳辐照度在光伏方阵面上的日分布曲线，在知道负载日负荷曲线的情况下，可以预测“自发自用系统”自发自用电量的比例和项目的经济性；

4)当光伏系统在微电网中需要削峰填谷或者错峰运行时，方阵面太阳辐照度的日分布曲线可以用于测算所需配备蓄电池的容量；

5)当需要优化光伏-逆变器容配比时，需要预测在特定光伏-逆变器容配比条件下的限功率运行所损失的发电量，方阵面上实时太阳辐照度日分布曲线可以测算限功率运行的时段，从而计算出限功率运行所损失的发电量，进而优化设计光伏-逆变器容配比；

6)在将来与其他类型发电单元、储能系统组成的混合发电系统或微电网时，准确的光伏系统发电曲线将为各电源、负载和储能系统间的平衡、优化提供设计依据。

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