含两个参数的四阶边值问题的一个变号解

崔亚琼，高 英，康淑瑰，王兰卿

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

1 介绍

讨论含两个参数的四阶Dirichlet边值问题

变号解的存在性，其中f∈C1(R1,R1)，α,β∈R1，和β＜2π2。

近年来，有许多文章讨论了含参数的四阶边值问题解的存在性，如文献[1-4],利用不动点理论、临界点理论及Morse理论等讨论了上述边值问题正解和多解的存在性。也有许多文章研究边值问题变号解的存在性，见文献[5-7],特别在文献[5]中，通过介绍一些新的概念如O-正算子和O-有界锥，建立了不含参数的四阶边值问题变号解的存在性。受上面研究成果的启发，我们自然的联想到，应用文献[5]中的研究方法，能否研究含两个参数的四阶边值问题变号解的存在性参见文献[1-9]，在非线性项满足一定条件下，通过将体锥中的算子列分解成正部和负部的和证明了研究算子的全连续性，给出BVP(1)至少存在一个变号解。

定理1假设下列条件成立

(H1)f:R1→R1连续单调递增且f(0)=0；

(H2)且存在正整数n0使得λ其中λn=(nπ)4-β(nπ)2-α。若存在正数T=T(α,β)，当时，BVP(1)至少存在一个变号解。

例 设f(u)=2000arctanu,u∈R1，若令α=0，或，T=4。容易验证取n0=1时，f满足定理1的全部条件。因此便知BVP(1)至少存在一个变号解。

2 准备知识

设P是Banach空间E中的一个锥，若P中含有内点，即Po≠∅，则称P是一个体锥。给定E中一个锥后，则可在E中元素间引入半序x≤y，如果y-x∈P。若x≤y且x≠y，则记x＜y。如果∃δ＞0，使得当||x1|| =||x2|| =1，x1∈P，x2∈P时，有，则称锥P是正规的。在下面讨论中||x1+x2||≥δ，半序x≤y始终是相对于锥P而言的。

设P,Q是E中的两个锥且Q⊂P。对于每个x0∈E，令

定义1对任意x0,y0∈E且y0≤x0，如果Q(x0)P(y0)是有界集，则称锥Q相对于锥P是一个O-有界锥。

定义2设P是实Banach空间E中的一个体锥，K:E→E是一线性算子，若存在相对于锥P的O-有界锥Q使得对任意x＞θ，有Kx∈Q⋂Po，则称K:E→E是一个O-正算子。

引理1[4]设P是Banach空间E中一个锥，存在x∗∈Po和a＞0，那么相对于锥P是一个O-有界锥。

定理2[4]设P是Banach空间E中一个正规的体锥，并满足下列条件。

(i)F:E→E严格递增，K:E→E是一线性O-正算子且A=k F:E→E全连续；

(ii)A在θ处可微，且Aθ=θ，其中r表示谱半径；

(iii)1不是线性算子A′θ的特征值，A′

θ在(1,+∞)内所有特征值的代数重数和是偶数；

(iv)存在x1∈-Po，使得x1＜Ax1。

那么A在E中至少有一个变号的不动点。

众所周知，空间C[0,1]按范数是一个Banach空间，其中x∈C[0,1]。令

P0={x∈C[0,1]:x(t)≥0,t∈[0,1]} ，则P0是 空 间C[0,1]中的一个体锥。

设λ1，λ2是多项式p(λ)=λ2+βλ-α的根，则根据对α,β的基本假设知λ1≥λ2＞-π2。 令Gi(i=1,2)是 线 性 边 值 问 题-x″(t)+λix(t)=0，t∈[0,1]在边值条件x(0)=x(1)=0下的格林函数。

参见文献[1]的引理2.1。

引理2Gi(t,s)(i=1,2)连续且满足以下性质：

(i)Gi(t,s)＞0，t,s∈(0,1)；

(ii)Gi(t,s)≤CiGi(t,t)，t,s∈(0,1)，其中若λi≥0，则Ci=1；若-π2＜λi＜0，则

(iii)Gi(t,s)≥δiGi(t,t)Gi(s,s)，t,s∈(0,1)，其中δi＞0是一个常数。

定义算子K，F和A分别如下：

其中t∈[0,1]，x∈C[0,1]。

利用引理2，不难得到K:C[0,1]→C[0,1](或P0→P0)线性全连续。若条件(H1)成立，则F:P0→P0连续有界，那么A:C[0,1]→C[0,1](或P0→P0)全连续且A在C[0,1]中的非零不动点等价于BVP(1)的一个非平凡解。

引理3算子K的特征值序列为

且每个特征值μn的代数重数为1。

引理4若条件(H1)，(H2)成立，则算子A在θ处可微，且A′(θ)=γK。

从现在起，取E={x∈C[0,1]:∃ν＞0使-νG1(t,t)≤x(t)≤νG1(t,t),t∈[0,1]}，则E是C[0,1]的一个线性子空间。令 ||x||=inf{ν:ν＞0,-νG1(t,t)≤x≤νG1(t,t),t∈[0,1]，x∈E，显然E按范数||x||是一个Banach空间。令P=P0⋂E，则是一个正规的体锥且G1(t,t)∈Po。

引理5令

证明利用引理1，显然Q相当于P是一个O-有界锥。令x∈P0{}θ，由引理2和(2)得

利用(3)和(4)式，我们有

因此，K(P0)⊂Q⊂E。注意到P⊂P0和≠0，从 (3)和 (5)式得由 (3)式知，K:E→E是一个线性算子。根据定义2，得K:E→E是O-正算子。证毕。

引理6K:C[0,1]→E是全连续算子。

证明对任意x∈E，根据

可得

由 (5)和 (6)式，对任意x∈P0{θ}，有

mi=‖Gi(t,t)‖0(i=1,2)。既然P0是C[0,1]中的一个体锥，故对于任一序列xn∈C[0,1]且‖xn‖0→0，n→∞。则序列可分解为其中那么由于K:P0→P0线性全连续得及

由 (7)式和K(P0)⊂E知这就意味着K:C[0,1]→E连续。若 存在常数M＞0，使得那么由(6)式，不难证明{ }Kun在E中有收敛子列，因此K:C[0,1]→E全连续。证毕。

3 证明主要结论

证明定理1一方面，由引理5知，K:E→E是一个O-正算子。利用条件可得F:E→C[0,1]连续有界。由引理6便知，Aθ=θ且A:E→E全连续。

另一方面，利用条件(H2)和引理3知，1不是线性算子A′

θ的特征值,且A′θ在(1,+∞)所有特征值的代数重数和是偶数。特别地，有式子r(A′(θ))=γr(K)=γμ1＞ 1成立。

其中t∈[0,1]。这样定理1中的条件(i)-(iv)均成立，利用定理2，A在C[0,1]中至少有一个变号的不动点，相应地BVP(1)至少存在一个变号解。证毕。

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